高考排列组合典型例题.docx

排列组合典型例题 例 1 用 0 到 9 这 10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③ 个位数字只能是 0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8 的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9 和千位数是 2、4、6、 8 两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法 1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个来排列，故有A3 个； 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A1 ? A1 ? A2 （个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 4 8 8 A3 ? A1 ? A1 ? A2 ? 5 0 4? 1 7 9 2? 2 2 9 6个． 9 4 8 8 解法 2：当个位数上排“0”时，同解一有A3 个；当个位数上排 2、4、6、8 中之一时， 9 千位，百位，十位上可从余下9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是“0”排列数得： A1 ? ( A3 ? A2 ) 个 4 9 8 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 A3 ? A1 ? ( A3 ? A2 ) ? 5 0 4? 1 7 9 2? 2 2 9 6个． 9 4 9 8 解法 3：千位数上从 1、3、5、7、9 中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8 中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 A1 ? A1 ? A2 个 5 5 8 干位上从 2、4、6、8 中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括 0 在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 A1 ? A1 ? A2 个 4 4 8 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 A1 ? A1 ? A2 ? A1 ? A1 ? A2 ? 2 2 9 6个． 5 5 8 4 4 8 解法 4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数． 没有重复数字的四位数有A4 10 A3 个． 9 其中四位奇数有A1 ( A3 A2 ) 个 5 9 8 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 A4 ? A3 ? A1 ( A3 ? A2 ) ? 10 ? A3 ? A3 ? 5 A3 ? 5 A2 10 9 5 9 8  ? 4 A3 9 9 9 9 8 ? 5 A2 8 ? 36 A2 ? 5 A2 8 8 ? 41A2 8 ? 2296 个 说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用． 典型例题二 例 2 三个女生和五个男生排成一排 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ 如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这 样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有A6 种不同排法．对于其中的每一种排法， 6 三个女生之间又都有A3 对种不同的排法，因此共有A6 ? A3 ? 4320 种不同的排法． 3 6 3 （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有 4 个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都 不相邻．由于五个男生排成一排有A5 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位 5 置中选出三个来让三个女生插入都有A3 种方法，因此共有A5 ? A3 ? 14400 种不同的排法． 6 5 6 解法 1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5 个男生中的 2 个，有 A2 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 A6 种排法，所以共有 A2 ? A6 5 6 ? 14400 种不同的排法． 5 6 解法 2：（间接法）3 个女生和 5 个男生排成一排共有A8 种不同的排法，从中扣除女生 8 排在首位的A1 ? A7 种排法和女生排在末位的A1 ? A7 种排法，但这样两端都是女生的排法在 3 7 3 7 扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女