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命题逻辑 ;第一章 命题逻辑; 第一章 命题逻辑;1.1 命题符号化及联结词;判断给定句子是否为命题, 应该分两步： 首先判定它是否为陈述句, 其次判断它的真值是否唯一。 例1.1 判断下例句子是否为命题。 (1) 2 是素数。 (2) 雪是黑色的。 (3) 1+101=110 (4) 十是整数。 (5) 向右看齐！ (6) 今天是十五号。 (7) 这朵花多美啊！ (8) 我们这里四季如春。 (9) x + y 5 (10) 你是谁？ (11) 明年十月一日是晴天。 (12) 地球外的星球上也有人。;定义：由简单陈述句(一套主谓结构)构成的命题称为简单命题或原子命题。 由若干个简单命题用联结词联结而成的命题是复合命题。 如果一陈述句再也不能分解成更为简单的陈述句, 由它构成的命题称为简单命题。简单命题是命题逻辑的基本单位。;三、命题符号化;四、命题常量与命题变元;五、联结词;(一) 否定(?) 定义1.1 设P为任一命题, 复合命题“非P”(或P的否定)称为 P 否定式。 记作?P。? 为否定联结词。 ?P为真, 当且仅当P为假; ?P是假, 当且仅当P为真。 否定联结词? 的定义可由表1-1表示之。;(二) 合取(∧) 定义1.2 设P、Q为两个命题, 复合命题“P并且Q”(或P与Q)称作P与Q的合取式, 记作: P∧Q。称∧为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P和Q同为真, 否则P∧Q为假。 合取联结词∧的定义由表1-2表示之。;例1.3：将下列命题符号化。 (1) 李平既聪明又用功。 (2) 李平虽然聪明, 但不用功。 (3) 李平不但聪明, 而且用功。 (4) 李平不是不聪明, 而是不用功。 (5) 张辉和王丽都是三好学生。 (6) 张辉和王丽是同学。 解：? 命题符号化: P: 李平聪明。Q: 李平用功。R: 张辉是三好学生。 S: 王丽是三好学生。T: 张辉和王丽是同学。 ? 选用合适的联结词将命题符号化： (1) P∧Q (2) P∧? Q (3) P∧Q (4) ? (? P)∧? Q (5) R∧S (6) T;(三) 析取(∨) 定义1.3 设P和Q为两个命题, 复合命题“P或Q”称作P与Q的析取式, 记作: P∨Q, ∨为析取联结词。 P∨Q的为假当且仅当P与Q同为假, 否则P∨Q为真。 析取联结词∨的定义由表1-3表示之。;例：将下列命题符号化。 1. 王燕学过英语或日语。(可兼??) P: 王燕学过英语。Q: 王燕学过日语。 则: P∨Q 2. 他昨天做了20题或30题。 ? “或”只表示了习题的近似数目, 是原子命题。不能用“∨”表示。 P: 他昨天做了20题或30题。 3. 我在教室看书或在图书馆看书。 排斥或/异或?“?”表示。 P: 我在教室看书。Q: 我在图书馆看书。 则: P?Q P?Q = (P∨Q)∧?(P∧Q) = (P∧?Q)∨(?P∧Q);(四)蕴涵(?) 定义1.4 设P和Q为两个命题, 复合命题“如果P, 则Q”称作P和Q的蕴涵式, 记作: P?Q, 称?为蕴涵联结词。 当P的真值为真, 而Q的真值为假时, 命题P?Q的真值为假; 否则, P?Q的真值为真。 蕴涵联结词?的定义由表1-4表示之。;注: 在条件命题 P?Q 中, 命题 P 称为 P?Q 的前件或前提, 命题 Q 称为 P?Q 的后件或结论。 条件命题 P?Q 有多种方式陈述： (1) “ 如果 P, 则 Q ”; (2) “ P 是 Q 的充分条件 ”; (3) “ Q 是 P 的必要条件 ”; (4) “ P 仅当 Q ”; (5) “ 只有 Q 才 P ”; ……。;例：将下列命题符号化。 1. 如果我拿到奖学金, 我就请客。 P: 我拿到奖学金。Q: 我请客。 P?Q 2. 如果他努力学习, 就会门门功课优秀。 P: 他努力学习。Q: 他门门功课优秀。 P?Q 3. 只要不下雨, 我就骑自行车上班。 P: 天下雨。Q: 我骑自行车上班。 ?P?Q 4. 只有不下雨, 我才骑自行车上班。 P: 天下雨。Q: 我骑自行车上班。 Q??P;注意：在使用联结词?时, 要特别注意以下几点: 1. 在自然语言里, 特别在数学中, Q是P的必要条件有多种不同的叙述方式。如: “只要P, 就Q”, “因为P, 所以Q”, “P仅当Q”, “只有Q才P”, “除非Q才P”, “除非Q, 否则非P” ……。各种叙述方式表面看来有所不同, 但都表达的是Q是P的必要