高三二轮复习专题导数中参数范围的求法.docx

如对你有帮助，请下载使用。 如对你有帮助，请下载使用。 PAGE PAGE 1 导数中的参数范围的求法 一、 与单调性有关的参数问题 此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系，这里需要注意的一个问题：若函数 f (x) 单调，则 f ( x) 恒为非正或非负，函数的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。 例 1.已知函数 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 9x 在区间(a,2 a ?1)上单调递减，求a 的取值范围。解析：先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。 f (x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3(x ?1)(x ? 3) 令 f (x) ? 0 ，则 x ? 3 或 x ? ?1；令 f (x) ? 0 ，则?1 ? x ? 3 ，作出趋势图像如下： ?a ? ?1 ?函数在区间(a,2 a ?1)上单调递减，需满足?2a ?1 ? 3 ? 1 ? a ? 2 ? ??2a ?1 ? a ? 例 2．已知函数 f (x) ? x2 ? a ln x ? 2 在[1,4] 上是减函数，求实数a 的取值范围。 x 解析：转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可， f (x) ? 2x ? a ? 2 在[1,4] 上是减函数，即 f (x) ? 0 ? a ? ?2x2 ? x x2 2 在[1,4] 上恒成立 x 令 g(x) ? ?2x2 ? 2 x ，因为 g (x) 在[1,4] 上递减，则 g(x)  min ? g(4) ? ? 63 2 所以a ? ? 63 2 例 3.已知函数 f (x) ? ax, g (x) ? ln x, a ? R ，若函数G(x) ? xf (x) ? ag (x) ? 2 a x 在区间 [1, ??) 上为单调函数，求a 的取值范围。 解析：题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情况讨论，将单调性转化为参数恒成立问题即可。 xf (x) 2 a 2 2x3 ? ax ? 2 G(x) ? ? ag (x) ? ， G (x) ? 2x ? ? ? a x x x2 x2 若G(x) 在区间[1, ??) 上单调递增，则G (x) ? 0 在[1, ??) 上恒成立，即 2 2a ? ? 2x2 在[1, ??) 上恒成立，令h(x) ? ? 2x2 ，因为h(x) 在[1, ??) 递减，则 2 2 x x h(x) ? h(1) ? 0 ，此时a ? 0 max 若G(x) 在区间[1, ??) 上单调递减，则G (x) ? 0 在[1, ??) 上恒成立，即 2 2a ? ? 2x2 在[1, ??) 上恒成立，令h(x) ? ? 2x2 ，因为h(x) 无最小值，则不存 2 2 x x 在这样的a 综上， a ? 0 例 4.已知函数 f (x) ? x3 ? (k ?1)x2 ? (k ? 5)x ，其中k ? R ，若函数 f (x) 在区间(0,3) 上不是单调函数，求k 的取值范围。 解析：这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在(0,3) 上不是单调函数，意味着原函数在(0,3) 上存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没有，原题目中排出没有的情况，因此题目存在两个极值点，但是这两个极值点有几个落在区间(0,3) 内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两个都在，此外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。 f (x) ? 3x2 ? 2(k ?1)x ? k ? 5 ，函数 f (x) 在区间(0,3) 上不是单调函数，则 f (x) 在(0,3) 内必定存在极值点，此时 f (x) 不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此 f (x) 在(0,3) 内的极值点可能是一个也可能是两个。 若极值点在(0,3) 内只有一个，情况如下： （1） ?此时 f ( x) 需要满足?? f (0) ? 0 ，此时无解 ? ?? f (3) ? 0 （2）