高考抛物线专题做题技巧和方法总结.docx

高考抛物线专题做题技巧与方法总结 知识点梳理： 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 )： 标准方程 图形 y 2? 2 px ▲ y 2? ?2 px ▲ x 2? 2 py ▲ x 2? ?2 py ▲ y y y y x x x O x O O O F焦点 p F ( ,0) 2 准线 p F (? p p ,0) 2 F (0, p ) 2 p F (0,? p ) 2 p x ? ? 2 x ? y ? ? y ? 2 2 2 范 围 对称轴顶 点 离心率 x ? 0, y ? R x ? 0, y ? R x 轴 x ? R, y ? 0 x ? R, y ? 0 y 轴 （0，0） e ? 1 抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ； 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线  y 2? 2 px 的焦点弦，则 x x ? A B p2 ， y y 4 A B ? ? p2 ， | AB | = x ? x ? p A B y 2 ? 2 px 的参数方程为?x ? 2 pt 2 （ t ?? y ? 2 pt ? 为参数），  x 2 ? 2 py 的参数方程为?x ? 2 pt （ t ?? y ? 2 pt 2 ? 为参数）. 重难点突破 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能 1 / 16 通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 要有用定义的意识 问题 1：抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( ) 17 15 7 0 16 16 8 点拨：抛物线的标准方程为x2 ? 1 y ，准线方程为 y ? ? 1 ,由定义知，点M 到准 4 16 线的距离为 1，所以点 M 的纵坐标是15 16 求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有 4 种，经过第一象限的抛物线有 2 种，故满足条件的抛物线有 2 条 研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点A、B 分别是点 A、B 在准线上的射影，弦 AB 的中点为 M，则 AB ? AF ? BF ? AA?BB ，点 M 到准线 的距离为 1 ( AA?BB) ? 1 AB ，? 以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线 2 2 相切 3、典型例题讲解： 考点 1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线y2= 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，－1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 解题思路：将点 P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离 2 / 16 [解析]过点 P 作准线的垂线l 交准线于点 R，由抛物线的定义知， PQ ? PF ? PQ ? PR ，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时， PQ ? PR 取得最小值， 最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3 总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的 距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关练习： 已知抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ，点 P (x ，y ) ，P x( y，) ，P (x ，y ) 在 1 1 1 2 2 2 3 3 3 抛物线上，且| PF |、| P F | 、| P F | 成等差数列， 则有 （ ） 1 x ? x ? x 2 3 y ? y ? y 1 2 3 x ? x ? 2x 1 2 3 y ? y ? 2 y 1 3 2 1 3 2 ［解析］C 由抛物线定义， 2(x ? p ) ? (x ? p ) ? (x ? p ), 即： x ? x ? 2x ． 2 2 1 2 3 2 1 3 2 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时, M 点坐标是 ( ) A. (0, 0) B. (3, 2 6 ) C. (2, 4) D. (3, ? 2 6) [解析] 设 M 到准线的距离为