高观点下中学数学—几何学答案.docx

离线考核 《高观点下中学数学－几何学 》 满分 100 分 一、简答题（每小题 5 分，共 10 分。） 1．试叙述欧几里得的第五公设。 答：公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定。在几何演绎体系 里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如 此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一 切定理的基础，这就是公理。 2．简述公理系统的完备性。 答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理 系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。 二、计算与证明（每小题 15 分，共 90 分。） 1．求出将点(3,1) 变成点(?1,3) 的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线y2 ? x ? 8 y ?18 ? 0 上。解：设所求的旋转变换为 ?x ? x cos? ? y sin? ?? y ? x sin? ? y cos? ? 则 ? ? ? 2 ?于是所求的旋转变换为?x ? ? y ? ? y ? x 将此变换用于所给的抛物线得 即?x ? y ?? y ? ?x ? x 2 ? 8x ? y ?18 ? 0 2.（1）求线坐标为?2,0, 2? 直线方程。 解： ?2,0, 2?表示直线 x ? x 1 3 ? 0 或 x ? 1 ? 0 （2）若存在，求下列各点的非齐次坐标 (0,5, ?6) ， (1,8,0)  x x 5 解： (1). 存在，设(x , x , x ) ? (0,5,6) ，则这个点的非齐次坐标为(x, y) ? ( 1 , 2 ) ? (0, ) 。 1 2 3 x x 6 3 3 （2）不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标 将二次曲线4x2 ? 6xy ? 4 y2 ? 2x ? 3y ?1 ? 0 化简成标准型。 解： A ? 4, B ? 3, C ? ?4, D ? 1, E ? ? 3 , F ? ?1 2 计算不变量 A B I ? A ? C ? 0, I 1 2 ? ? AC ? B2 ? ?25 B C 1? 32 1 ? 3 2 ?1 A B D I3 ? B C E ? 3 ?4 D E F 3 ? 11 1 ? 2 判别类型 I ? 0 ， I 2 3 ? 0 ，说明曲线为双曲线 化方程为标准方程： 特征方程为? 2 ? 25 ? 0 特征根为? 1 ? 5,? 2 ? ?5 又 I / I 2 3 ? ?11/ 25 方程化为5x ?2 ? 5 y ?2 ? 11/ 25 在四边形中 ABCD 中， ?ABD ， ?BCD 与?ABC 的面积比 3：4：1，点 M , N 分别在 AC, CD 上，满足 AM : AC ? CN : CD ，并且 B, M , N 三点共线，求证： M , N 分别为 AC, CD 上的中点。证明：应用梅内劳斯定理及共边三角形的面积比定理证明。 已知向量a ? ?1,2,3?, b ? ?3, ?4,0?，分别计算a 与b 的模长与夹角。 a ? ?1,2,3?故 a ? 14 b ? ?3, ?4,0?故 b ? 5 a b ? ?5 而 a b ? a b cos? 故? ? ? ? arccos 1 14 求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。 证明：设二直线l 和l 1 2  交于 P 点， P 点在影消线上，l 和l 1 2 经射影对应，对应直线为l ? 和l 1 ? ，则 P 点对 2 应无穷远点。 由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是l ? 和l 1  ? 的交点，即无穷远点，也就是l ?∥ l ? 2 1 2