12-2-8 全等专题-一线三等角模型(解析版).doc

12.2.8 全等专题-一线三等角模型 知识点管理 知识点管理 归类探究夯实双基，稳中求进 归类探究 三垂直模型1.基本图形（ 1.基本图形（“K型”三垂直模型） 题型特征：图形的某条线段上出现三个直角，如图中∠B=∠AED=∠C=90° 解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=EC或BE=DC或AE=DE），必证△ABE≌△ECD（AAS或ASA） 证明过程：∵∠B=∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A，∵∠B=∠C=90°，若AB=EC或BE=DC或AE=DE，则△ABE≌△ECD（AAS或ASA）. 2.三种变化图形 （1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L型”三垂直模型 （3）“旋转”三垂直模型 【模型1】（2021·湖南株洲市·八年级期末）如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． 【分析】 （1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可； 【详解】 证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°, ∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°, ∴∠ABD=∠EAC, 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ； 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 【模型2】（2020·宜兴市丁蜀实验中学八年级月考）已知AD⊥AB于A，BE⊥AB于B，点C在线段AB上，DC⊥EC，且DC=CE． 试问：AD，BE，AB又怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）BE= AB+AD，理由见解析． 【分析】根据△ACD≌△BEC，得到AD=BC，AC=BE，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD． 【详解】 解：∵BE⊥AB， ∴∠BCE+∠BEC=90°， ∵DC⊥EC， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠BEC， 在△ACD和△BEC中， ∴△ACD≌△BEC（AAS）， ∴AD=BC，AC=BE， ∴BE=AC=AB+BC=AB+AD． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，找出条件，证明全等，利用全等的性质得到线段的数量关系是本题考查的内容． 【模型3】（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）在中，，，是过的一条直线，于，于． 若直线绕点旋转到如图2位置时，试说明：． 【分析】可证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论； 【详解】如图2，∵BD⊥l，CE⊥l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD+∠DAB＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠CAE＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE． 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE ∵DE＝AE﹣AD， ∴DE＝BD﹣CE． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，判定三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL．  一线三等角模型1.基本模型说明“一线三等角模型” 1.基本模型说明“一线三等角模型” 题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠2=∠C 解题方法：只要题目再出现一组等边（BE=AC或EF=AE或BF=EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 证明过程：∵∠1=180°-∠2-∠3，∠4=180°-∠C-∠3，∵∠2=∠C，∴∠1=∠4，∵∠B=∠C，若BE=AC或EF=AE或BF=EC，则△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 几种变式模型 【模型1】（2020·全国九年级专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作． （1）当时，______°，______°； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由． 【答案】（1）25，65；（2），见解析 【分析】 （1）根据三角形内角和定理得到∠BAD=25°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC，根据AB=DC=2，证明△ABD≌△DCE． 【详解】 解：（1）∵，， ∴． 又∵， ∴，． （2）当时，， 理由：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中