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一种宽带自适应的二维线性常系数微分动力系统 在分析和过滤工程信号时，通常需要将指定信号分解为不同频率的正信号。目前，广泛使用的模型主要是分散傅里叶变换dft及其增强算法的快速傅里叶变换算法。dft算法的精确分析前提是确保采样时间窗口的长度对应于所有分段周期的最小公倍数。否则，由于光谱泄漏，使得精度难以满足。此外，dft算法直接获得每个正相位的真实部分和虚拟部分的每个采样时间的值。通过二次计算，可以获得每个采样时间检测到的信号的值。 近几年广为讨论的基于小波变换和小波包分解的算法,其计算量大,不满足实时分析要求,存在频带重叠导致调制混频现象. 文献采用了一种改进锁相环电路分析正弦信号,能检测指定频率正弦输入的幅值和初相角,文献[11-12]依据最小均方原则和最优梯度思想,针对固定频率ω0的正弦输入u(t),选择幅值a、相位φ作为状态变量,提出类似文献算法的幅值相角模型(Amplitude phase model,APM)跟踪器如下 其中,为跟踪器参数. 文献[11-13]以APM为基础提出幅值、频率、相位模型跟踪器(Amplitude frequency phase model,AFPM).文献[14-16]把多个跟踪器并联形成梳状滤波器,分析谐波和间谐波.APM算法是关于幅值和相位的非线性系统,参数的物理意义不明确,不利于调节参数和分析性能,参数匹配与输入幅值有关,算法鲁棒性不好. 本文先采用最小方差原则,利用梯度下降方法经旋转变换,获得自适应二维线性正弦跟踪器,并估计其幅值,改进了APM跟踪器的缺点.再用多个跟踪器并联形成渐近稳定的梳状滤波器,把信号分解为不同频率的正弦分量,获得多个分量的时域跟随及其幅值,最后通过仿真实例说明算法性能. 1 在一般参数下的下位机关设计 设已知角频率ω的正弦信号的幅值U和初相位δ未知,可表示为 由于有幅度和初相位两个未知量,参考文献,选择状态变量为记 用a(t)作为幅值的估计值,用y(t)作为u(t)的估计值,e(t)为估计误差.依据最小方差原则,定义代价函数为 根据自适应滤波器的梯度下降方法,使状态变量的变化方向为代价函数的负梯度方向,即 对角矩阵T调节v(t)收敛到最优值的速度以及算法的稳定性.令μ1,μ20,选择 得到以下的周期系数线性动力系统 做旋转变换 则 指定μ1=μ2=μ,并用η代替ω,得到自适应二维线性正弦跟踪算法(Linear sinusoid tracer,LST) 以及信号跟随与幅值估计公式 在静止坐标系中用参数代替坐标系旋转,把二维线性周期系数系统转换为常系数系统. 命题1.针对正弦跟踪器(6),以下结论成立: 1)系统是全局一致渐近稳定的,暂态响应速度主要决定于参数μ,μ越大收敛越快. 2)若η=ω,稳态时y(t)=u(t),a(t)=U,故称η为频率参数. 3)参数μ等于-3 d B带宽,故称μ为带宽参数. 证明.见附录. 文献的第2.1.1节中引理1的证明过程显示,在特殊条件下,即当APM算法的两个参数ˉμ1和与输入正弦信号的幅值U之间满足最佳参数条件时,APM算法具有式(6)的模型此时算法的性能最优.事实上对于未知的U,不能保证该条件满足,当U改变时,APM算法系统鲁棒性不好.由于所选状态变量与APM算法不同,故式(5)的状态矩阵中没有显性的正弦幅值U,使得参数μ1,μ2与U无关,新算法始终等价于最优的APM算法,相当于APM算法中的参数ˉμ2跟随U改变从而始终保持最佳参数条件成立,改进了APM算法参数与输入信号幅值关联而导致算法鲁棒性差的缺点.与APM方法相比,本算法的两个参数μ和η都具有明确的物理意义,应用时调整其数值更为方便.当η是整数或小数,可分别分析整数次谐波与非整数次间谐波,而当η=0时系统简化为一阶惯性滤波.另外,新算法可直接获得输入信号的估计值不必进行DFT算法与APM算法那样的二次计算. 把多个线性正弦跟踪器并联,形成如图1所示的并联滤波器组,其中Tracer 1～Tracer N都是式(6)的正弦跟踪器.记第i个正弦跟踪滤波器的状态变量为xi(t),其带宽参数为μi,频率参数为ηi.记D=diag{η1,η1,···,ηN}是对角矩阵,μ=[μ1μ2···μN]T是列向量,ΓN=[1 1···1]T是全为1的N×1列向量,记O是全0矩阵.滤波器组的状态变量为 于是,滤波器组可写成以下2N维动力系统 所提取的第i个正弦分量的幅值可表示为 2 算法的性能 2.1 李雅普私家车函数 为分析暂态稳定性,考虑系统的齐次方程 命题2.零点是齐次系统(12)的全局一致渐近稳定平衡点. 证明.取正定的李雅普诺夫函数为 其中,对角矩阵P1=0.5 diag{μ1-1,μ2-1,···,μN-1}.V(t)对时间的导数是负半定的 若则Ni=1xi(t)≡0,代