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控制工程基础Fundamentals of Control Engineering 第二章系统的数学模型2.1 系统的微分方程 系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析法和实验辨识法两种。前者主要用于对系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统，而后者通常用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。对于复杂系统的建模往往是一个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。 2.1 系统的微分方程 系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。如果系统的运动状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。 2.1 系统的微分方程 系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。对于同一系统，数学模型可以有多种形式，如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等。但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。 2.1 系统的微分方程线性系统的叠加原理 线性系统在多个输入的作用下, 其总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和. 2.1 系统的微分方程 列写系统或元件微分方程的一般步骤为： (1).确定系统或元件的输入量和输出量； (2).按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微分方程； (3).消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式； (4).将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。 在列写微分方程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件或环节所遵循的有关定律。对于机械类的学生，往往需要列写机械系统和电网络系统的微分方程，因此，有必要掌握常见元件的物理定律。 2.1 系统的微分方程 2.1 系统的微分方程 2.1 系统的微分方程 2.1 系统的微分方程 2.1 系统的微分方程 2.1 系统的微分方程 例题 2.1 系统的微分方程 例题 2.2 系统的传递函数 一、传递函数 对于线性定常系统，传递函数G(s)是一种常用的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的Laplace变换与引起该输出的输入量的Laplace变换之比。 系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在t=0-时输入Xi(t)才开始作用于系统，因此， t=0-时， Xi(t)及其各阶导数均为零；二是指在t=0-时系统处于相对静止的状态，即系统在工作点上运行，因此t=0-时，输出X0(t)及其各阶导数也均为零。现实的工程控制系统多属此类情况。 2.2 系统的传递函数 传递函数具有以下特点： (1)传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。 (2)当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。 (3)传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。 2.2 系统的传递函数(4)传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。 (5)不同用途、不同物理组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。 (6)传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。 2.2 系统的传递函数二、传递函数的零点、极点和放大系数 传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。根据复变函数知识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于∞的点均称为极点。 若将传递函数写成如下的形式： 则，s=zj (j=1,2,…,m)为传递函数的零点，s=pj (j=1,2,…,n)为传递函数的极点，而将K称为系统的放大系数。传递函数的零点和极点的分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状。系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。因此，对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。2.2 系统的传递函数三、典型环节的传递函数 系统是由若干典型环节组成的。常见典型环节及其传递函数的一般表达式分别为： 以上各式