卫星椭圆轨道问题探析.doc

卫星椭圆轨道问题探析 精编资料 卫星椭圆轨道问题探析顾家国 江苏省大港中学 江苏 镇江 212028通过对万有引力知识的学习,我们知道,发射卫星的最小速度是(又称第一宇宙速度),此时卫星以最大速度绕... 探析 卫星椭圆轨道问题探析 顾家国 江苏省大港中学 江苏 镇江 212028 通过对万有引力知识的学习，我们知道，发射卫星的最小速度是(又称第一宇宙速gR度)，此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动;当发射速度达时(又称第二宇宙速2gR 度)，卫星以地球球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线;当发射速度介于和之间时，卫星作椭圆运动，并随发射速度的增大椭圆越gR2gR 扁，地球为椭圆的一个焦点，发射点为近地点;当卫星速度大于而小于第三宇宙速度2gR 时，它将在地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后，将绕太阳运动成为太阳的一个行星，如果控制发射速度和轨道，它也可成为其它行星的卫星;当发射速度大于第三宇宙速度时，卫星将脱离太阳系的束缚，向其他星系运动。 对于圆轨道，由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力，因此可方便地可以求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。但对于椭圆轨道，相对来说求解某些问题有一定的困难，下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明。 一、椭圆上任一点的曲率半径。 3222,,(xy，)根据数学知识，曲率半径由公式给出，为了便于求导，借助椭圆的参r,,,,,,,yxxy, xa,cos,yb,sin,数方程，(a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴)，把x、y的一、二阶 1 322222(absincos),,，r,导数代入表达式，有(在远地点和近地点，参数Φ分别取0、r,ab 2b代入，得到在椭圆上这两个点所在处的曲率半径相同，等于,不等于或(,0),aac，aac,，式中c为椭圆焦距。该知识点中的数学能力要求已超出高中要求，但是其结论有必要作适当的介绍。 c例题1:某卫星沿椭圆轨道绕地球运行，近地点离地球中心的距离是,远地点离地球中 vv心的距离为,若卫星在近地点的速率为,则卫星在远地点时的速率是多少, dcd r解析:做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于。所以， 22vvvMmMmdcdcGm,Gm,,在近地点时有，在远地点时有，上述两式相比得，故22vccrdrd c。学生易错的解是:卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有vv,dcd 22vvcMmMmVdcdcVV,Gm,Gm,，在远地点时有，上述两式相比得，得，,dc22dddccVcd 以上错误在于认为做椭圆运动的卫星，在近地点和远地点的轨道曲率半径不同，且分别为c和d，这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了。 二、卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度。 Mm根据牛顿第二定律，卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度由公式求Gma,2R解，式中R为地球球心到卫星的距离，即椭圆的一个焦点到卫星的距离。卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时，万有引力全部用来提供向心力，这时卫星的加速度就是向心加速度，而在椭圆轨道上运动的卫星，万有引力没有全部用来提供向心力，向心加速度将不再等于卫星在轨道上运动的加速度。 2vFm,卫星在轨道上某点运动的向心力为，式中是该点所在椭圆轨道的曲率半径，rnr FMmna,向心加速度，在远地点，卫星受到地球的万有引力FG,，式中R是卫星和地nG2mR 2vFm,FF,球地心之间的距离。卫星此时运动所需要的向心力， ，且，卫星此rR,Gnnr aa,时的加速度等于向心加速度，即，卫星之后在万有引力作用下向地球靠近做向心运动，n 2 万有引力产生两个作用效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，对卫星做正功，使卫星速率越 a来越大，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，万有引力产生的切向加速度和, aFF,aa,法向加速度即向心加速度之间的关系，如图1所示。到达近地点时，，，nGnn卫星之后远离地球做离心运动，万有引力同样产生两个作用效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，对卫星做负功，使卫星速率越来越小，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向， FF,aa,直到远地点，周而复始。在整个运动过程中，只有近地点和远地点两个位置，，，Gnn aa,其他位置。 n 例题2:发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是: A、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 B、卫星在轨道2上经过P点时的