演示文稿三次样条插值算法详解.pptVIP

* 三弯矩法:待定二阶导数 选择二阶导数作为待定参数: 由于三次样条S(x)是三次多项式,故它的二阶导数是一次多项式,从而 思考:(1)的原因? 当前第31页\共有58页\编于星期二\9点 * 当前第32页\共有58页\编于星期二\9点 * 从而推导出了三次样条S(x)在第k个小区间[xk,xk+1]上的表达式为: 它的系数都是用二阶导数与函数值表示! 当前第33页\共有58页\编于星期二\9点 * 对所有中间节点xk,k=1,2,…,n-1,左边小区间与右边小区间上的三次多项式的一阶导数应当连续! 确定二阶导数 当前第34页\共有58页\编于星期二\9点 * 三弯矩法基本方程 注意到这个基本方程只包括了n-1个方程!但却有n个二阶导数需要待定,这是一个欠定方程组,还需要根据边界条件再确定两个方程! 当前第35页\共有58页\编于星期二\9点 * 曲率调整样条 这种样条的边界条件是已知两端点的二阶导数值! 这样从三弯矩基本方程可以导数确定其它n-2个待定参数的方程组: 当前第36页\共有58页\编于星期二\9点 * 自然样条 这种样条的边界条件是:已知两端点的二阶导数值为0! 这样从三弯矩基本方程可以导数确定其它n-2个待定参数的方程组: 当前第37页\共有58页\编于星期二\9点 * 固支样条 这种样条的边界条件是:已知两端点的一阶导数值! 根据前面推导过程中得到的样条函数S(x)的一阶导数的表达式(2.11),得方程 当前第38页\共有58页\编于星期二\9点 * 固支样条 这样从三弯矩基本方程可以导数确定n个待定参数的方程组: 当前第39页\共有58页\编于星期二\9点 * 非扭结样条 这种样条的边界条件是:要求样条S(x)在开始的两个小区间[x0,x1],[x1,x2]上的三阶导数相同,在最后两个小区间[xn-2,xn-1],[xn-1,xn]上的三阶导数相同. 对表达式(2.9)再求一次导数得方程 当前第40页\共有58页\编于星期二\9点 * 非扭结样条 再由三弯矩基本方程,可得 当前第41页\共有58页\编于星期二\9点 演示文稿三次样条插值算法详解 当前第1页\共有58页\编于星期二\9点 （优选）三次样条插值算法详解 当前第2页\共有58页\编于星期二\9点 * 样条函数的定义 定义4.1　设区间[a,b]上给定一个节点划分 a=x0x1……xn-1xn=b 如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足如下两条： (1)在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。 (2)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。 则称分段函数s(x)是以(2.6)为节点集的k次样条函数。 当前第3页\共有58页\编于星期二\9点 * 三次样条插值函数的定义 并且关于这个节点集的三次样条函数s(x)满足插值条件： 则称这个三次样条函数s(x)为三次样条插值函数。 当前第4页\共有58页\编于星期二\9点 * 三次样条插值函数的边界条件 插值条件： 连续性条件： 一阶导数连续条件： 二阶导数连续条件： 当前第5页\共有58页\编于星期二\9点 * （1）因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多项式，故有四个未知系数； （2）因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！ （3）但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用边界条件给出！ 当前第6页\共有58页\编于星期二\9点 * 通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是 所谓的边界条件: 第一边界条件：由区间端点处的一阶导数给出即 当前第7页\共有58页\编于星期二\9点 * 第二边界条件：由区间端点处的二阶导数给出即 特殊情况为自然边界条件： 由区间端点处的二阶导数恒为0给出即 当前第8页\共有58页\编于星期二\9点 * 这样三次样条插值问题就分成三类！其实不止这三类! 第三类又称周期边界条件： 由区间端点处的函数值或导数值满足周期条件给出 当前第9页\共有58页\编于星期二\9点 * 样条函数的例子 容易验证： 是满足如下数据的第一类边界样条插值问题解： x 0 1 2 3 y 0 0 0 0 y’ 1 0 当前第10页\共有58页\编于星期二\9点 * 样条函数的例子 当前第11页\共有58页\编于星期二\9点 * 通常有三转角法、三弯矩法、B样条基函数法。 三次样条插值函数的求法 这三种方法的基本思想是类似的，都是通过待定某些参数来确定插值函数，但肯定不是待定4n个参数。而是利用已知条件将待定参数减小到最少。 比如：待定一阶导数、待定二阶导数、采用基函数方法来确定插值函数。 当前第12页\共有58页\编于星期二\9点 * 三转角法:待定一阶数 为了确