第三章泛函分析初步.ppt

§3.5.1 内积空间 例子： 第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.5.2 Hilbert空间 定义欧氏范数 ，则内积（线性）空间成为赋范线性空间。 Hilbert空间：依欧氏范数 完备的内积空间称为Hilbert空间。 有限维内积空间必完备： 完备。 完备，定义内积 。 H空间是能量有限信号的集合。 第三十页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.5.2 Hilbert空间 Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间， ? X,Y∈W，有 注： 1.在H?lder不等式中，取 ，就成为Cauchy-Schwarz不等式。 2.在 空间中，有Cauchy不等式： 3.在 空间中，有Schwarz不等式： 第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日 * 第一页，共四十三页，2022年，8月28日 第三章 泛函分析初步 §3.1 线性空间 §3.2 线性子空间 §3.3 距离空间 §3.4 Banach空间 §3.5 Hilbert空间 §3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 第二页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.1 线性空间 线性空间：设W≠?（W为非空集合） (1) W中元对“+”构成交换群，即对? X,Y,Z?W,有 ⅰ. ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ. 第三页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.1 线性空间 (2)对? X,Y?W， ?α,β?C（复数域）有： ⅵ. ⅶ. ⅷ. ⅸ. 称W为线性空间；若?α,β?C ，则W为复线性空间；若α,β?R，则W为实线性空间。 第四页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.1 线性空间 第五页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.1 线性空间 线性空间W上的算子L为线性算子 零状态线性系统?系统算子为线性算子 第六页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.2 线性子空间 线性子空间：设 ? ≠V ? W， V是W的线性子空间 直和：设 第七页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.3 距离空间（度量空间——Metric Space） 距离空间：设W≠? ，称W为距离空间，指在W中定义了映射： （包 括0），? X,Y?W 满足以下三条公理： 称为W上的距离， 为度量空间。 第八页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.3 距离空间 例： 例： 第九页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.3 距离空间 例： 第十页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.3 距离空间－收敛 收敛： 定理：在 中，每个收敛点列有唯一的极限点。 第十一页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.3 距离空间－完备度量空间 柯西序列——Cauchy Sequence 例： 第十二页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.3 距离空间－完备度量空间 中任意收敛序列是柯西序列 中的柯西序列未必收敛到 中 例： 第十三页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.3 距离空间－完备度量空间 完备度量空间——Complete Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。 极限运算在完备时可行 如何完备化？ W不要求线性空间 第十四页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.4 巴拿赫（Banach）空间 第十五页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.4.1 赋范线性空间 赋范线性空间：设W≠?是线性空间，若对? X?W， ?‖X‖ 满足： 称为X的范数（Norm），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为 。 第十六页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.4.1 赋范线性空间 （广义）长度的推广： 例1： 第十七页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.4.1 赋范线性空间 （广义）长度的推广： 例2： 第十八页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.4.1 赋范线性空间 Minkowski不等式： 第十九页，共四十三页，2022年，8月28日 §3.4.1 赋范线性空间 第二十页，共四十三