微分方程数值解法演示文稿.pptVIP

在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合， 计算公式为 应用改进欧拉法,如果序列 收敛, 它的极限便满足方程 当前第31页\共有47页\编于星期二\7点 改进欧拉法的截断误差 因此，改进欧拉法公式具有 2 阶精度 当前第32页\共有47页\编于星期二\7点 例2: 用改进Euler公式求解例1中的初值问题， 取步长 。 解：对此初值问题采用改进Euler公式， 其具体形式为 计算结果列于下表： 例1: 用欧拉公式求解初值问题 当前第33页\共有47页\编于星期二\7点 改进的Euler法 Euler法 当前第34页\共有47页\编于星期二\7点 微分方程数值解法演示文稿 当前第1页\共有47页\编于星期二\7点 微分方程数值解法 当前第2页\共有47页\编于星期二\7点 §6.1 引 言 微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分 方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式 可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题 也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采 用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微 分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、 Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要 的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的 求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常 微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解 的若干方法。 当前第3页\共有47页\编于星期二\7点 1、常微分方程与解 为n阶常微分方程。 如果函数 在区间[a,b]内n阶可导，称方程 满足方程的函数 称为微分方程的解。 则 如 为任意常数） 一般称为方程的通解。 为方程的解。 如果 则有 为方程满足定解条件的解。 一、初值问题的数值解法 当前第4页\共有47页\编于星期二\7点 方程的通解 满足定解条件的解 微分关系（方程） 解的图示 当前第5页\共有47页\编于星期二\7点 本教材重点讨论定解问题(初值问题） 定解条件（初始条件） 是否能够找到定解问题的解取决于 仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大部分方程至今无法理论求解。 如 等等 当前第6页\共有47页\编于星期二\7点 2、数值解的思想 （1）将连续变量 离散为 （2）用代数的方法求出解函数 在 点的近似值 * 数学界关注 工程师关注 如果找不到解函数 数学界还关注： 解的存在性 解的唯一性 解的光滑性 解的振动性 解的周期性 解的稳定性 解的混沌性 …… 当前第7页\共有47页\编于星期二\7点 求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 的方法称为微分方程的数值解法。 称节点间距 为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 称为微分方程的数值解。 所谓数值解法： 当前第8页\共有47页\编于星期二\7点 称 在区域D上对 满足Lipschitz条件是指: 记 3、相关定义 当前第9页\共有47页\编于星期二\7点 (2) 一般构造方法： 离散点函数值集合 + 线性组合结构 → 近似公式 4、 迭代格式的构造 (1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数值方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法（数值积分）、有限元法（函数插值）等等。 当前第10页\共有47页\编于星期二\7点 (3) 如何保证迭代公式的稳定性与收敛性? 5、微分方程的数值解法需要解决的主要问题 (1) 如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？ (2) 如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？ 当前第11页\共有47页\编于星期二\7点 二、初值问题解的存在唯一性 ? 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */: 则上述IVP存在唯一解。 只要 在 上连续, 且关于 y 满足 Lipschitz 条件， 即存在与 无关的常数 L 使 对任意定义在 上的 都成立， 当前第12页\共有47页\编于星期二\