极坐标与参数方程知识讲解.docx

欢迎阅读 参数方程和极坐标系 一、 知识要点 （一）曲线的参数方程的定义：  ??x ? f (t) ? 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即 ? y ? f (t) 并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 过定点（x0，y0），倾角为α的直线： x ? x 0 t cos? ? （t 为参数） y ? y 0 t sin 其中参数 t 是以定点 P（x0，y0）为起点，对应于t 点 M（x，y）为终点的有向线段PM 的数量， 又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论． ○1 ．设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t 和 t ，则 AB ＝ t ?t ＝ A B B A (t ? t B A )2 ? 4t ? t ． A B ○2 ．线段 AB 的中点所对应的参数值等于 t A ? tB ． 2 中心在（x0，y0），半径等于 r 的圆： x ? x 0 r cos? ? （? 为参数） y ? y 0 r sin 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆： x ? a cos? x ? b cos? y ? b sin? （? 为参数） （或 y ? a sin? ）  ?x ? x  a cos?, ?中心在点（x0,y0）焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 0 ? ? y ? y b sin?.(?为参数） 0 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线： 欢迎阅读 欢迎阅读 欢迎阅读 欢迎阅读 欢迎阅读 x ? a sec?  （? 为参数） （或 x ? btg? ） y ? btg? y ? asec? 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线： x ? 2 pt 2 （t 为参数，p＞0） y ? 2 pt 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点 P（x0 ，y0 ），倾斜角为? 的直线的参数方程是 ??x ? x0 ? y ? y ? y t cos ? t sin ? （t 为参数）． J3.2 极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点 M，用ρ 表示线段 OM 的长度，θ 表示从 Ox 到 OM 的角，ρ 叫做点 M 的极径，θ 叫做点 M 的极角，有序数对(ρ , θ )就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 ? 、? 对应惟一点 P( ? ， ? )，但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的， P( ? ，? )（极点除外）的全部坐标为( ? ,? ＋ 2k? )或（ ? ? ，? ＋ (2k ? 1)? ），( k ?Z )．极点的极径为 0，而极角任意取．若对? 、? 的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一 了，如限定? 0，0≤? ＜ 2? 或? 0， ? ? ＜? ≤? 等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴? ? ? ⑵ ? ? a ⑶ ? ? ? a 0 cos? cos? ⑷ ? ? a ⑸ ? ? ? a ⑹ ? ? a sin? sin? cos(? ? ?) 4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a ? 0) ： ⑴ ? ? a ⑵ ? ? 2a cos? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑷ ? ? 2a sin? ⑸ ? ? ?2a sin? ⑹ ? ? 2a cos(? ??) 5、极坐标与直角坐标互化公式： 例题（j3.1 参数方程） 例 1.讨论下列问题： 1、已知一条直线上两点 M ?x , y 1 1 1  ?、M  ?x , y 2 2 2  ?，以分点 M（x，y）分M M 1 2  所成的比? 为参数， 写出参数方程。 ? ?x ? 3 ? 2、直线?  t 32 (t 为参数)的倾斜角是 3 ? y ? 1 ? 1 t ?? ? 6 2 ? 3 5? 6 2? 3 ? y ? ?3 ? t sin3、方程?x ? ?1 ? t ?