【苏教版】数学必修四32《二倍角的三角函数》练习(含解析).docx

匠心文档，专属精选。 3．2二倍角的三角函数 我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是能够 相互化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么能否可把和角公式化归为二倍 角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？ 1．在S(α＋β)中，令________，可获得sin2α＝________，它简记为S2α. 答案：α＝β2sinαcosα 2．在C(α＋β)中，令________，可获得cos2α＝________，它简记为C2α. 答案：α＝βcos2α－sin2α 3．在T(α＋β)中，令________，可获得tan2α＝________，它简记为T2α. 2tanα 答案：α＝β1－tan2α 4．在C2α中考虑sin2α＋cos2α＝1可将C2α变形为cos2α＝ ________＝________．它简记为C′2α. 答案：2cos2α－11－2sin2α 5.2－sin22＋cos4的值是( ) A．sin2B．－cos2C.3cos2D．－3cos2 答案：D 6．设f(tan x)＝tan2 x，则f(2)＝( ) 4 4 2 A．－3B.5C．－3D．4 答案：A 7．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是( ) 匠心教育文档系列1 匠心文档，专属精选。 ππ A．πB．2πC.2D.4 答案：C π4 8．若cos2＋α＝5，则cos2α＝________． 答案：－  7 25 9．sin2π－cos2π的值是________． 88 答案：－  2 2 1 10．tanA＋tanA＝m，则sin2A＝________． sinAcosA分析：tanA＋tanA＝cosA＋sinA sin2A＋cos 2A 2 2 ＝ Acos ＝ ＝，∴sin2 ＝. sin A sin2A m A m 2 答案： m 11．y＝cosx－sin2x－cos2x＋7的最大值为________． 4 答案：2 12．化简1＋sin10°＋1－sin10°＝________． 分析：1＋sin10°＋1－sin10° cos25°＋2sin5°cos5°＋sin25°＋ cos25°－2sin5°cos5°＋sin25° (cos5°＋sin5°)＋(cos5°－sin5°)＝2cos5°. 答案：2cos5° 匠心教育文档系列2 匠心文档，专属精选。 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2α 2α 2α 1π π 1．公式S ，C 中的角α没有限制．但公式T 需在α≠2kπ＋4和α≠kπ＋2(k∈Z) 时才建立． 当α＝kπ＋ π α不存在，但tan2α是存在的，故可改用引诱公 ，k∈Z时，固然tan 2 式． π π 比如：当α＝kπ＋2，k∈Z时，tan2α＝tan2·k π＋ ＝tan(2kπ＋π)＝tan π 2 ＝0. 2．一般状况下：sin2 α≠2sin α，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tan α. 若sin2 α＝2sin α，则2sin αcosα＝2sin α，即sinα＝0或cosα＝1，此 时α＝kπ(k∈Z)． 若cos 2α＝2cos α，则2cos2α－2cos α－1＝0，即cos α＝ 1－3 2 1＋3 cosα＝ 舍去. 2 2tanα 若tan2α＝2tanα，则1－tan2α＝2tanα， ∴tanα＝0，即α＝kπ(k∈Z)． αα 3．二倍角公式不单限于2α是α的二倍的形式，其余如4α是2α的二倍，是的 24 3ααα 二倍，3α是2的二倍，3是6的二倍等，全部这些都能够应用二倍角公式． 比如：sinα＝2sinαcosα，cosα＝cos2α－sin2α等． 244366 二倍角公式的逆用、变形应用 1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有宽泛的应用． 1 α，4sin α α 2．注意右侧化为左侧的应用，如sin3αcos3α＝sin6 cos ＝2sin 2 4 4 匠心教育文档系列3 匠心文档，专属精选。 α 2tan40° 2 2 2， 1－tan240°＝tan80°，cos 2α－sin2α＝cos4α等． 3．把cos2α＝1＋cos2 α，sin 2α＝1－cos2α称为降幂公式，把 1－cos2α＝2sin2 2 2 α， 1＋cos2α＝2cos2α称为升幂公式，这几个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转 化，同时能够达成角的形式的转变． 这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一， 在学 习过程中，要注意应用． 4．在理解倍角公式的同时，联合前面学过的内容，从中领会到三角函数公式中充满了 辩证法．非同角公式中“和与差”“倍与半”“弦与切”“升与降”既是相对的观点，又能够求同存异、相辅相