【苏教版】数学必修四131《三角函数的周期性》练习(含解析).docx

匠心文档，专属精选。 1．3三角函数的图象和性质 1．3.1三角函数的周期性 情形：自然界中存在着很多循环往复的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运 动和弹簧振动，圆周运动等．从正弦函数、余弦函数的定义可知，角α的终边每转一周又 会与本来的地点重合，故sinα，cosα的值也拥有循环往复的变化规律． 思虑：正弦函数、余弦函数及正切函数它们都是周期函数吗？其周期分别为多少？你能给周期函数下一个定义吗？ 1．对于函数 f ( x )，假如存在一个非零常数 ，使适当 x 取定义域内的每一个值时，都 T 有________________，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的 ____________．对于一个周期函数f(x)，假如在它全部的周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小正数就叫做 f(x)的______________． 2．正弦函数是______________，______________都是它的周期，最小正周期是 ________________． 3．余弦函数是________________，________________都是它的周期，最小正周期是 __________________． 4．函数的周期与分析式中__________________相关． 答案：1．f(x＋T)＝f(x)周期最小正周期 2．周期函数2kπ(k∈Z且k≠0)2π 3．周期函数2kπ(k∈Z且k≠0)2π 4．自变量的系数 匠心教育文档系列1 匠心文档，专属精选。 最小正周期 对于函数 f ( x )，假如存在一个非零的常数 ，使得定义域内的每一个 x 值，都知足 f ( x T ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 对于一个周期函数f(x)，假如在它全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 的正数就叫做f(x)的最小正周期． 依据上述定义，我们有： 正弦函数是周期函数， 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π. 余弦函数是周期函数， 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π. 说明：(1)周期函数不必定存在最小正周期，比如， 对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x ∈R)，全部非零实数T都是它的周期，而最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周 1，x是有理数， 期，又如，函数D(x)＝ 0，x是无理数. 设r是随意一个有理数，那么，当x是有理数时，x＋r也是有理数，而当x是无理数时，x＋r也是无理数，即D(x)与D(x＋r)或许都等于1，或许都等于0，所以在两种状况下都有： D(x＋r)＝D(x)． 所以D(x)是周期函数，任何非零有理数r都是它的周期，而最小正有理数不存在，所 以D(x)也没有最小正周期． 假如不加特别说明，教材中提到的周期，一般都是指最小正周期．难点释疑：对周期函数观点的理解： 设f(x)的定义域为A，对随意x∈A，存在常数T≠0，则x＋T∈A. 比如f(x)＝sinx(x≠0)不是周期函数，我们可用反证法证之． 若f(x)＝sinx(x≠0)的周期为T(T≠0)，∴－T≠0. 设x0＝－T是这个定义域内一点，但x0＋T＝0不在定义域内，∴f(x0＋T)＝f(x0)对于定 义域有的点不建立， ∴f(x)＝sinx(x≠0)不是周期函数． 对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求，假如不过对某些x有f(x＋T)＝f(x)，那么T就不是f(x)的周期．比如，分别 π π ππ π 取x1＝2kπ＋ 4 (k∈Z)，x2＝ 6 ，则由sin 2kπ＋4＋2 ＝sin 2kπ＋4(k∈Z)， 匠心教育文档系列2 匠心文档，专属精选。 π π π π π sin 6 ＋ 2 ≠sin 6，可知对于 2而言，固然正弦函数对 2kπ＋4(k∈Z)都有 sin 2π＋ π π ＝sin 2π＋ π (k∈Z)．但因为它不 ＋ 2 4 是对“每一个”自变量都有 k 4 k sin π ＝sin x，所以 π x＋ 不是正弦函数的周期． 2 2 周期函数的周期不独一．比如2kπ(k∈Z，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点能够 从周期函数的图象上获得反应，也能够从代数上证明：设T是函数f(x)的周期，那么对于 随意的k∈Z，k≠0，kT也是函数f(x)的周期． 函数y＝Af(ωx＋φ)的周期 函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)(此中A，ω，φ为常数，且A≠0， 2π ω＞0)的周期T＝ω. T 若函数y＝f(x)的周期为T，则函数y＝Af(ωx＋φ)的周期为|ω|(此中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)． 基础稳固 π 1．函数y＝sin－2＋4的最