【苏教版】数学必修四24《向量的数量积》练习(含解析).docx

匠心文档，专属精选。 2．4向量的数目积 前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍 是向量，大家自然要问：两个向量能否能够相乘？相乘后的结果是什么？是向量仍是数？ 1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 θ，我们把数目________叫做a与b的数 量积，记作____________，即________________． 答案：|a||b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ 2．两非零向量 a与b的夹角为θ，a在b方向上的投影为________，b在a方向上的 投 影 是 ________，a·b 的 几 何 意 义 为 __________________________________________________________． 当θ为________时，b在a上投影为正；当 θ为________时，b在a上的投影为负； 当θ为________时，b在a上的投影为零． 答案：|a|cos θ|b|cosθa的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的积 锐角 钝角 90° 3．a，b同向时，a·b＝______，当a与b反向时，a·b＝________，特别地a·a＝ ________． 答案：|a||b| －|a||b||a|2 4．|a·b|与|a|·|b|的大小关系是________． 答案：|a·b|≤|a|·|b| 5．向量数目积的运算律为 · ＝________；( )· b ＝________＝________；( a ＋ ab λa b)·c＝________． 答案：b·aλ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c 6．两个向量的数目积等于它们对应坐标的乘积的和．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝________． 匠心教育文档系列1 匠心文档，专属精选。 答案：x1x2＋y1y2 7．假如表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么|a| ________________________________________， 这是平面内两点间的距离公式． 答案：（x1－x2）2＋（y1－y2）2 8．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?________． 答案：x1x2＋y1y2＝0 9．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a、b的夹角为θ，则有cosθ＝________________． x1x2＋y1y2 答案：22 2 2 x1＋y1· x2 ＋y2 数目积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把|a||b|cosθ叫做向量a和b的数 量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ(0≤θ≤π)． 此中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影． ππ 特别提示：(1)当0≤θ＜2时，cosθ＞0，进而a·b＞0；当2＜0≤π时，cosθ＜ π 0，进而a·b＜0；当θ＝2时，cosθ＝0，进而a·b＝0. 数目积的几何意义：数目积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．这个投影值可正可负也可为零，因此我们说向量的数目积的结果是一个实数． 数目积的性质及运算律 1．数目积的重要性质． 匠心教育文档系列2 匠心文档，专属精选。 设a 与b都是非零向量， e是单位向量，θ是 a与e的夹角． (1) e · ＝·＝||cos θ； a aea a⊥b?a·b＝0； 当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|； 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2，a·a也可记作a2. (4)|a·b|≤|a|·|b|. 2．数目积的运算律． 已知a，b，c和实数λ，则向量的数目积知足以下运算律： a·b＝b·a(互换律)； (2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(数乘联合律)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分派律)． 说明：(1)当 a ≠0时，由·＝0不可以推出 b 必定是零向量．这是因为任一与 a 垂直的 ab 非零向量b，都有a·b＝0. 已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc?a＝c.但对向量的数目积，该推理不正确，即 a·b＝b·c不可以推出a＝c.由图很简单看出，固然a·b＝b·c，但a≠c. 对于实数a、b、c，有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量a、b、c而言，(a·b)c＝a(b·c) 未必建立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向 量，而c与a不必定共线，因此(a·b)c＝a(b·c)未必建立． 向量的模 设a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x