【苏教版】必修四数学第3章《三角恒等变换》全章知识整合.docx

匠心文档，专属精选。 【金版教案】2015-2016学年高中数学第3章三角恒等变换本章知 识整合苏教版必修4 网络建立 求值题 三角函数的求值主要有两类题型，给角求值与给值求值． 给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特别角，若为非特别角，则 应变成可消去或约分的状况，从 而求出其值． 给值求值一般应先化简所求的式子， 弄清实质所求，或变化已知的式子，找寻已知与所 求的联系，再求值． π 3 π π 3 5 12 已知α∈4 ，π ，β∈ 0， ，且cos － α＝5，sin π＋ β＝－13，求cos(α 4 4 4 4 ＋β)． cos(α＋β)，应注意到角之间的关系， π 剖析：由已知条件要求 α＋β＝4＋β－ 匠心教育文档系列1 匠心文档，专属精选。 π －α，可应用两角差的余弦公式求得． 4 分析：由已知α∈ π 3 3 π 4 ，π得－α∈－π，－ ， 4 4 4 π － π ∴4－α∈ ，0 . 2 又cos π 3 4－α ＝ 5 ， π 4 ∴sin 4－α＝－5. π π π π 由β∈0，4，得4＋β∈4，2， 又∵sin 5 β ＝sin π β 4π＋ π＋ 4＋ ＝－sin π ＋ β＝－ 12 4 13， π 12 π 5 ∴sin ＋ ＋ β＝13. 4 β＝13.∴cos4 π ＋β－ π 由 －α＝α＋β，得 4 4 cos(α＋β)＝cos π π ＋ β－ － α 4 4 π π π π ＝cos 4 ＋β cos 4－α＋sin 4＋β·sin 4－α 5 3 12 4 33 13×5＋13×－5＝－65. ◎规律总结：给值求值的重点是找出已知式与欲求式之间的差别，一般能够适合变换已 知式，求得此外函数式的值，以备应用，同时也要变换欲求式，便于将已知式求得的函数值 代入，从而达到解题的目的． 变式训练 1 1 1．已知cos(α＋β)＝3，cos(α－β)＝5，求tan α·tanβ的值． 分析：∵cos(α＋β)＝cos αcosβ－sin αsin 1 β＝3，① cos( α β )＝cos α cos β ＋sin α sin β 1 － ＝5，② 匠心教育文档系列2 匠心文档，专属精选。 ①＋②得 cos αcosβ＝ 4 ，②－①得 sinαsinβ＝－ 1 ，∴tanαtanβ＝ 15 15 1 sinαsinβ －15 1 cosαcosβ＝4 ＝－ 4. 15 求sin220°＋cos280°＋ 3sin20 °cos80°的值． 1 1 3 分析：方法一 原式＝2(1－cos40°)＋2(1＋cos160°)＋2·(sin100°－sin60°) 1 3 3 1＋2(cos160°－cos40°)＋2sin100°－4 1 3 ＝4－sin100°sin60 °＋2sin100° 1 ＝. 4 方法二 原式＝sin 220°＋cos2(60°＋20°)＋3sin20 °·cos(60°＋20°) 2 1 3 2 1 ＝sin20°＋ 2cos20°－2sin20° ＋3 sin20°· 2cos20° 3 2sin20° 1 2 1 2 20° ＝sin20°＋cos 4 4 1 4. 方法三令M＝sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°，则其对偶式N＝cos220° sin280°＋3cos20°sin80°. 由于M＋N＝(sin220°＋cos220°)＋(cos280°＋sin280°)＋3·(sin20°cos80° cos20°sin80°)＝2＋3sin100°，① M－N＝(sin220°－cos220°)＋(cos280°－sin280°)＋3(sin20°cos80°－cos 20°sin80°) ＝－cos40°＋cos160°－3sin60° 3 ＝－2sin100°sin60°－2 3 ＝－3sin100°－，② 匠心教育文档系列3 匠心文档，专属精选。 1 因此①＋②得2M＝2，M＝4， 2 2 1 即sin20°＋cos 80°＋ 3sin20°cos80°的值为4. ◎规律总结：“给角求值”问题，一般所给出的角都是非特别角，从表面上看是很难的， 但认真察看非特别角与特别角总有必定的关系，解题时，要认真察看，综合三角公式转变成特别角而且消除非特别角的三角函数而得解． 变式训练 3tan12°－3 2．求sin12°·（4cos212°－2）的值． 3tan12°－3 分析：原式＝2sin12°cos24° 3tan12°－3）·2cos12° 2sin12°·cos12°·2cos24°23sin12°－6cos12° ＝ sin48° 43（sin12°cos60°－cos12°sin60°） ＝ s