常系数高阶线性微分方程.ppt

* 第一页，共三十五页，2022年，8月28日 一、二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 * 第二页，共三十五页，2022年，8月28日 1、 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 * 第三页，共三十五页，2022年，8月28日 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 * 第四页，共三十五页，2022年，8月28日 综上讨论 注： 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. ① * 第五页，共三十五页，2022年，8月28日 例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 * 第六页，共三十五页，2022年，8月28日 例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 * 第七页，共三十五页，2022年，8月28日 例3. 求解定解问题 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 所求解为 * 第八页，共三十五页，2022年，8月28日 解 例4. 则由牛顿第二定律得 解得 代入上式得 * 第九页，共三十五页，2022年，8月28日 2、 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 * 第十页，共三十五页，2022年，8月28日 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 * 第十一页，共三十五页，2022年，8月28日 第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有 特解: * 第十二页，共三十五页，2022年，8月28日 第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . * 第十三页，共三十五页，2022年，8月28日 第四步 分析 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , * 第十四页，共三十五页，2022年，8月28日 小 结: 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. * 第十五页，共三十五页，2022年，8月28日 例5. 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 * 第十六页，共三十五页，2022年，8月28日 例6. 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 * 第十七页，共三十五页，2022年，8月28日 例7. 解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: * 第十八页，共三十五页，2022年，8月28日 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 上节例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动方程： 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. (2) 强迫振动方程： * 第十九页，共三十五页，2022年，8月28日 例8. 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程④之解为 上节例1 中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 代入④可得: ④ * 第二十页，共三