第四章：根轨迹分析法.ppt

* 根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它是在已知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究某—个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。下面通过示例简要介绍用根轨迹分析控制系统的方法。 第六十页，共一百零一页，2022年，8月28日 * 例4-13 已知单位反馈系统的开环传递函数为  试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性和计算闭环主导极点具有阻尼比 时系统的动态性能指标。 解 ⑴先根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。 系统的特征方程是 或 第六十一页，共一百零一页，2022年，8月28日 * 由规则一、二知该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹，起点分别是系统的四个开环极点，即 ， ， ， ；且四条根轨迹都趋向无穷远处。 由规则三知实轴上的根轨迹是由0至-1线段和由-2至-3线段。 由规则四可求出四条渐近线与实轴的交点为-1.5，它们与实轴正方向的夹角分别是 和 。 由规则六可求出根轨迹与实轴的两个交点（分离点）分别为 ， 。 第六十二页，共一百零一页，2022年，8月28日 * 由劳斯判据求根轨迹与虚轴的交点，先根据特征方程列出劳斯表 1 11 6 6 0 10 0 0 由 行的首项系数求得 ，用 和 代入 行辅助方程得到根轨迹与虚轴的交点为 。绘制出根轨迹的大致图形如图4-18所示。 第六十三页，共一百零一页，2022年，8月28日 * 图4-18 例4-13的根轨迹图 第六十四页，共一百零一页，2022年，8月28日 * ⑵系统稳定性分析 由根轨迹图知，有两条从S平面左半部穿过虚轴进入S平面右半部，它们与虚轴的交点 ，且交点处对应的临界开环根轨迹增益 。 由开环根轨迹增益 与系统开环放大系数K之间的关系可求出系统稳定的临界开环放大系数 ⑶系统动态性能指标 首先求出满足阻尼比 时系统的主导极点 的位置（假定 、 满足主导极点的条件）。 方法是作等阻尼比线oA，使oA与实轴负方向的夹角 第六十五页，共一百零一页，2022年，8月28日 * 等阻尼比线oA与根轨迹的交点 即为满足阻尼比 系统的一个闭环极点（即系统特征方程的一个根）。测得 在s平面上的坐标位置为 , 由根轨迹的对称性得到另一共轭复数极点为 。 由幅值条件可求出闭环极点 所对应的系统开环根轨迹增益 为 将 、 和 代入特征方程，由根和系数之间关系很容易得到另外两个闭环极点 、 ，它们也是一对共轭复数极点 由此可计算出 第六十六页，共一百零一页，2022年，8月28日 * 共轭复数极点 与虚轴的距离是共轭复数极点 与虚轴的距离的九倍，且闭环极点 附近无闭环零点，这说明 、 满足主导极点的条件。 该系统可近似成由闭环主导极点构成的一个二阶系统，其闭环传递函数为 此时对应的系统开环放大系数 第六十七页，共一百零一页，2022年，