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简单曲线的极坐标方程 [知识链接] 1.曲线的极坐标方程是否唯一? 提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,所以曲线上的点的极坐标有多种表示,曲线的极坐标方程不唯一. 2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化,若已知一曲线的极坐标方程是ρ=2cos θ,那么该曲线对应怎样的几何图形? 提示 由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x2+y2=2x,即标准方程为(x-1)2+y2=1,曲线为以(1,0)为圆心,半径为1的圆. [预习导引] 1.曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f(x,y)=0表示,曲线与方程满足如下关系: (1)曲线C上 都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为 都在曲线C上. 点的坐标 坐标的点 2.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ,并且坐标适合方程 的点都在曲线C上,那么方程 =0叫做曲线C的极坐标方程. f(ρ,θ)=0 f(ρ,θ)=0 f(ρ,θ) 3.常见曲线的极坐标方程 ρ=r ρ=2rcos θ ρ=2rsin θ θ=α或θ=α+π pcos θ=a psin θ=a 要点一 圆的极坐标方程 规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:(1)建立适当的极坐标系(本题无需建);(2)在曲线上任取一点M(ρ,θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用极坐标(ρ,θ)表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,并进行坐标表示. 要点二 射线或直线的极坐标方程 规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式,从而集中条件建立了以ρ,θ为未知数的方程;法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了思维方式,而且简化了解题过程. 要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例3 若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.
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