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课时作业 25 平面向量的概念及其线性运算 时间：45 分钟 分值：100 分 一、选择题(每小题 5 分，共 30 分) 设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3. 答案：D 如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝( ) A. B. C. D. 解析：设 a＝ ＋ ，利用平行四边形法则作??向量 ＋ ，再平移即发现，a＝ ，因此选 C. 答案：C 如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， ＝x ＋ y ，且 ＝2 ，则( ) A．x＝ ，y＝ B．x＝ ，y＝ C．x＝ ，y＝ D．x＝ ，y＝ 解析：由题意和图形可知， ＝ ＋ ，又 ＝2 ，所以 ＝ ＋2 ＝ ＋ ＝ ＋ ( － ) ＝ ＋ ， ∴x＝ ，y＝ ，故选 A. 答案：A 已知非零向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，向量 a，b 的夹角为 120°，且|b|＝2|a|，则向量 a 与 c 的夹角为( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：由题意可画??下边的图示，在平行四边形 OABC 中， 因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠AOB＝30°，即 AB⊥OB，即向量 a 与 c 的夹角为 90°. 答案：B 已知关于 x 的方程： ·x2＋ ·2x＋ ＝0(x∈R)，其中点 C 为直线 AB 上一点，O 是直线 AB 外一点，则下列结论正确的是( ) 点 C 在线段 AB 上 点 C 在线段 AB 的延长线上且点 B 为线段 AC 的中点 点 C 在线段 AB 的反向延长线上且点 A 为线段 BC 的中点 以上情况均有可能 解析：据题意由于 A，B，C 三点共线，故由 ＝－ ·x2－ ·2x，可得－x2－2x＝1，解得 x＝－1，即 ＝－ ＋2 ，化简 整理可得： － ＝ － ? ＝ ，故点 C 在线段 AB 的延长线上且点 B 为线段 AC 的中点. 答案：B 6．(2013·山东滨州一模)在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D，已知 AB＝3，且 ＝ ＋λ (λ∈R)，则 AD 的长为 ( ) A．1 B. C．2 D．3 解析：如图所示，因为 B，D，C 三点共线，所以 λ＋ ＝1，即 λ＝ . 在 AB 上取一点 E 使 ＝ ，在 AC 上取一点 F 使 ＝ ， 由 ＝ ＋ ＝ ＋ ， 可知四边形 AEDF 为平行四边形， 又∠BAD＝∠CAD＝30°，所以?AEDF 为菱形． 因为 ＝ ，AB＝3，所以菱形的边长为 2. 在△ADF 中， ＝ ， 所以 AD＝sin120°· ＝2 .故选 C. 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 设向量 e1，e2 不共线， ＝3(e1＋e2)， ＝e2－e1， ＝2e1 ＋e2，给出下列结论：①A、B、C 共线；②A、B、D 共线；③B、C、 D 共线；④A、C、D 共线，其中所有正确结论的序号为 ． 解析： ＝ － ＝4e1＋2e2， ＝ － ＝3e1，由向量共线的充要条件 b＝λa(a≠0)可得 A、C、D 共线，而其他 λ 无解． 答案：④ 已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2 ＋ ＝0，则用 、 表示 ＝ . 解析：∵2 ＋ ＝0， ∴A 为线段 CB 的中点． ∴ ＝ ( ＋ )． ∴ ＝2 － . 答案：2 － 如图，在△ABC 中， ＝ ，P 是 BN 上的一点，若 ＝m ＋ ，则实数 m 的值为 ． 解析：由 ＝ ，得 ＝ . ＝ ＋ ＝ ＋n ＝ ＋n( － ) ＝(1－n) ＋ n ＝m ＋ ，由 n＝ ，得 m＝1－n＝ . 答案： 三、解答题(共 55 分) 10．(15 分)如图所示，在△ABC 中，D、F 分别是 BC、AC 的中点， ＝ ， ＝a， ＝b. (1)用 a、b 表示向量 、 、 、 、 ； (2)求证：B、E、F 三点共线． 解： (1)延长 AD 到 G， 使 ＝ ， 连结 BG、CG， 得到? ABGC，所以 ＝a＋b， ＝ ＝ (a＋b)， ＝ ＝ (a＋b)， ＝ ＝ b， ＝ － ＝ (a＋b)－a＝ (b－2a)． ＝ － ＝ b－a＝ (b－2a)．