第六节微分中值定理.ppt

例1 证 第二十九页，共五十页，2022年，8月28日 第三十页，共五十页，2022年，8月28日 四、小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 费马引理 中值定理的数学符号简洁表述: P125 第三十一页，共五十页，2022年，8月28日 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 第三十二页，共五十页，2022年，8月28日 中值定理的数学符号简洁表述: P125 第三十三页，共五十页，2022年，8月28日 费马(1601 – 1665) 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 第三十四页，共五十页，2022年，8月28日 拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 第三十五页，共五十页，2022年，8月28日 第一页，共五十页，2022年，8月28日 第六节 微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 第二页，共五十页，2022年，8月28日 一、罗尔(Rolle)定理 1.引理（费马(Fermat)定理） (或称为临界点，稳定点) 第三页，共五十页，2022年，8月28日 证明: 第四页，共五十页，2022年，8月28日 2. 罗尔（Rolle）定理 则在 (a,b) 内至少存在一点 ? ，使 f?(?) =0 . 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导. 3) f (a) = f (b) 第五页，共五十页，2022年，8月28日 证 第六页，共五十页，2022年，8月28日 2. 罗尔（Rolle）定理 则在 (a,b) 内至少存在一点 ? ，使 f?(?) =0 . 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导. 3) f (a) = f (b) 第七页，共五十页，2022年，8月28日 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 几何解释: 第八页，共五十页，2022年，8月28日 3、罗尔定理还指出了这样的一个事实： 若 f (x) 可导，则 f(x)=0 的任何两个实根之间，至少有 f?(x) =0 的一个实根. 例2 不求导数, 判断函数 f(x) = (x ?1) (x ?2) (x ?3) 的导数f?(x)有几个零点及这些零点所在的范围. 第九页，共五十页，2022年，8月28日 4. 注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 例如 第十页，共五十页，2022年，8月28日 2) 罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有一个不满足,其结论也可能成立. 例如, 第十一页，共五十页，2022年，8月28日 罗尔定理的主要应用——证明中值的存在. 例3 例4 说明: 证明 在 内有根用零点定理. 证明 在 内有根用罗尔定理. 第十二页，共五十页，2022年，8月28日 例4 证 由Rolle定理知 说明: 证明 在 内有根用零点定理. 证明 在 内有根用罗尔定理. 第十三页，共五十页，2022年，8月28日 关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数. 若希望用Rolle定理证明方程 f(x)=0 根的存在性， 则构造的辅助函数F(x) 应满足关系式F?(x) = f(x) 及Rolle定理条件. 例5 第十四页，共五十页，2022年，8月28日 例6 第十五页，共五十页，2022年，8月28日 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 则在 (a,b) 内至少存在一点 ? ，使 f (b) ?f (a) = f (?)(b?a) (??(a,b)) . Lagrange 中值定理 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导. 第十六页，共五十页，2022年，8月28日 作辅助函数 证明： 拉格朗日中值公式 注意 拉氏公式精确地表达了函数在