等比数列习题课 课件.ppt

【解题探究】本例中，由a2，a8，a5成等差数列，可得什么等式？为证明S3，S9，S6成等差数列需证什么等式？两者可用什么公式建立联系？ 提示：由a2，a8，a5成等差数列，可得2a8=a2+a5.为证明S3，S9，S6成等差数列需证S3+S6=2S9.两者可用等比数列的通项公式和前n项和公式建立联系. 【解析】由a2，a8，a5成等差数列，可得2a8=a2+a5? 2a1q7=a1q+a1q4. 又因为a1≠0，所以2q7=q+q4?2q9=q3+q6　(1) 因为q≠1，所以S3+S6= (2) 把(1)式代入(2)式，得S3+S6= 故S3，S9，S6成等差数列. 角度2：求和问题 【典例】等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn= +n，求b1+b2+b3+…+b10的值. 【解题探究】典例中，(1)求通项公式的关键是什么？ (2)数列的结构特征是什么？应选择什么方法求前10项 的和？ 提示：(1)关键是计算等差数列的首项和公差.(2)数列 {bn}是由等差数列{n}和等比数列{ }相加得到的， 用分组求和法求前10项的和. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2. 等比数列习题课 【题型探究】 类型一 等比数列的实际应用问题 【典例】1.根据市场调查预测，某商场在未来的10年， 计算机销售量从a台开始，每年以10%的速度增长，则该 商场在未来的这10年大约可以销售计算机总量为(　　) A．10a(1.19-1)台 B．a(1.110-1)台 C．10a(1.110-1)台 D．10a(1.111-1)台 2.某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化的原因， 企业的生产能力将逐年下降.若不能进行设备改造，预 测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该 企业一次性投入资金600万元进行设备改造，预测在未 扣除设备改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的 利润为500 万元(n为正整数). (1)设从今年起的后n年，若该企业不进行设备改造的累计纯利润为An万元，进行设备改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除设备改造资金)，求An，Bn的表达式. (2)依上述预测，问从今年起该企业经过4年是否能实现BnAn的目标？ 【解题探究】1.典例1中，10年的计算机销售量构成什么数列？ 提示：10年的计算机销售量构成首项为a，公比为1.1的等比数列. 2.典例2中，从今年起的后n年，若该企业不进行设备 改造，每年的纯利润构成什么数列？数列{500 } 的前n项和如何计算？ 为分析企业经过4年是否能实现BnAn的目标，需要研究 数列{Bn-An}的什么性质？ 提示：从今年起每年的纯利润构成以500-20为首项，公 差为-20的等差数列.数列{500 }的前n项和可以分 组转化求和，即 为分析企业经过4年是否能实现BnAn的目标，需要研究数列{Bn-An}的单调性. 【解析】1.选C.第一年a台，第二年a(1+10%)=1.1a台， 第三年a(1+10%)2=1.12a台，以此类推， 可知10年的销售量构成首项为a，公比为1.1的等比数列， 前10项的和S10= 2.(1)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n) =490n-10n2， (2)Bn-An= =10n2+10n- -100. 易知该式随着n的增大而增大，代入1，2，3，4，…验证知当n≥4时，BnAn. 故经过4年，该企业进行设备改造后的累计纯利润能超过不进行设备改造的累计纯利润. 【方法技巧】解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到实际问题中. 具体解题步骤用框图表示如下： 【变式训练】从社会效益和经济效益出发，某地投入 资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划， 本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 . 本年底当地旅游业收入估计为400万元.由于该项目建 设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年 会比上年增加 .设n年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an和bn. 类型二 错位相减法求和 【典例】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100. (1)求数列{an