2021届高考数学(北师大版)一轮训练选修4-1第2讲直线与圆.docx

第2讲直线与圆 一、填空题 1 1.如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝2BC，则sin∠MCA＝ ________. 分析 由弦切角定理得， AC AC AC 5 ∠MCA＝∠ABC，sin∠ABC＝AB＝ AC2＋BC2＝ 5AC ＝ 5. 5 答案 5 2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线相互垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________. 分析∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD. 由此得，∠ACO＝∠CAD， OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC均分∠DAB. ∴∠CAO＝40°，∴∠ACO＝40°. 答案40° 3.(2012天·津卷)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延伸线订交于点D.过点C作BD的平行线与圆订交于点E，与AB订交于 3 点F，AF＝3，FB＝1，EF＝2，则线段CD的长为________． 328 分析由于AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，因此4＝BD，即BD＝3.设CD＝x， 2 AD＝4x，因此4x2＝ 64 4 9，因此x＝3. 答案 4 3 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点 B，与AC交于点D，连结BD，若BC＝ 5－1，则AC＝________. 分析由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，因此△BCD∽ ACB，因此BC∶AC＝CD∶CB， 又易知BD＝AD＝BC，因此BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2. 答案2 5.(2012陕·西卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________. 3 分析由题意知，AB＝6，AE＝1， BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5. 答案5 (2012·广东卷)如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA ＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________. 分析∵PB切⊙O于点B， ∴∠PBA＝∠ACB. 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB， ABAD ∴△ABD∽△ACB.∴AC＝AB， 4 AB2＝AD·AC＝mn， AB＝mn. 答案mn 7.如图，⊙O和⊙O′订交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为______． 分析∵AC、AD分别是两圆的切线， ∴∠C＝∠2，∠1＝∠D， ∴△ACB∽△DAB. BCAB ∴AB＝BD， ∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8. 5 AB＝8＝22(舍去负值)． 答案22 8．(2013·湖南卷)如图，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD订交于点P，PA＝PB 2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________． 分析依据订交弦定理求出PC的长，过O作弦CD的垂线． 由订交弦定理得PA·PB＝PC·PD. 又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5. 过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点， ∴OE＝ r2－ CD 2＝ 7－ 25 3 2 4＝ 2. 答案 3 2 9.(2013重·庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作 ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________． 6 分析在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°.∵AB＝20， AC＝10，BC＝103. ∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝53. 由切割线定理得DC2＝DE·DB， 即(53)2＝15DE，∴DE＝5. 答案5 二、解答题 10.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC均分∠DAB， AD⊥CD. 7 (1)求证：OC∥AD； (2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长． (1)证明∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝90°， AO＝CO，∴∠OAC＝∠ACO， AC均分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD. (2)解由(1)知OC∥AD且OC⊥DC， AD⊥DC，即∠ADC＝90°，连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， 又∵∠DAC＝∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ADAC ∴AC＝AB， 5 ∵AD＝2，AC＝5，∴AB＝2. 11.(2013新·课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB为圆的切线