2021届高考数学(北师大版)一轮训练第3篇第6讲正弦定理和余弦定理.docx

第三篇三角函数、解三角形 第6讲正弦定理和余弦定理 基础稳固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 ． ·新余模拟 ) 在△ ABC 中，若 2－c2＋b2＝3ab，则C＝ ( )． 1(2013 a A．30° B．45° C．60° D．120° 由a2－c2＋b2＝ a2＋b2－c2 3ab 3 分析 3ab，得cosC＝ 2ab ＝ 2ab＝ 2 ，所以C＝30°. 答案 A 2．(2014·西交大附中模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为 3 2， 则BC的长为 ( )． 3 B．3 A.2 C．2 3 D．2 1 1 3 3 ，所以AC＝1，所以BC2＝AB2 分析 S＝2×AB·ACsin60＝°2×2×2AC＝2 AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3. 答案B 3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ππ b＝2，B＝6，C＝4，则△ABC  的面积为  (  )． A．23＋2 C．23－2  B． D．  3＋1 3－1 分析  由正弦定理  bc sinB＝sinC及已知条件得  c＝22， 又sinA＝sin(B＋C)＝1× 2＋ 3× 2＋6 2＝ 4 . 2 2 2 2 △ABC 1 1 2× 2＋6 3＋1. 进而S ＝ 2bcsinA＝2×2×2 4 ＝ 答案 B 4．(2013·山东卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， C.若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝ ( )． A．2 3 B．2 C.2 D．1 分析 由a ＝ b ，得 a＝b ，所以 1 ＝ 3 ，故cosA＝ 3， sinA sinB sinA sin2A sinA2sinAcosA 2 π π π 12＋ 32＝2. 又A∈(0，π)，所以A＝，B＝，C＝，c＝a2＋b2＝ 6 3 2 答案 B 5．(2013·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若bcosC ＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为 ( )． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确立 分析由正弦定理及已知条件可知 sinBcosC＋cosBsinC＝sin2 A ，即 sin(B C)＝sin2A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sinA，所以sin2A＝sinA， π 又0＜A＜π，sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝2. 答案A 二、填空题 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB ＋cosB＝2，则角A的大小为________． ππ 分析由题意知，sinB＋cosB＝2，所以2sinB＋4＝2，所以B＝4，根 据正弦定理可知a＝b，可得2＝2，所以sinA＝1，又a＜b，故A sinAsinBsinAπ2 sin4 π ＝6. 2 答案 π 6 7．(2014·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， C.若(a 2＋c2－b2 ＝ ，则角 B的值为________． )tanB 3ac a2＋c2－b2 3 分析 由余弦定理，得 2ac ＝cosB，联合已知等式得cosB·tanB＝ 2 ， 3 π2π ∴sinB＝2，∴B＝3或 3. π2π 答案 3或3 8．(2013·烟台一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1， ＝， cosC ＝1，则sinB等于________． b2 4 分析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.由cosC＝1得sinC 4 15 bc bsinC 2 15 15 ＝4 .由正弦定理sinB＝sinC，得sinB＝ c ＝2× 4＝ 4(或许因为c ＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sinB＝sinC＝ 15 4)． 15 答案 4 三、解答题 1 9．(2014·宜川质检)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a＝2 c＋bcos C. (1)求角B的大小； (2)若S△ABC＝3，b＝13，求a＋c的值． 1 解(1)由正弦定理，得sinA＝2sinC＋sinBcosC， 又因为A＝π－(B＋C)， 所以sinA＝sin(B＋C)， 1 可得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinC＋sinBcosC， 3 1 π 即cosB＝2，又B∈(0，π)，所以B＝ 3. 因为 △ABC＝ 1 π 3，所以ac＝4， (2) S 2 3 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac， 所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5. 10．(2013萍·乡模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，