向量的加减乘除运算.docx

向量的加法OB+OA=OC. a+b=(x+x,y+y). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 互换律：a+b=b+a； 联合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 假如a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=的反向量为0向量的减法 AB-AC=CB即.“共同起点,指向被 向量的减法减” a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y). 3、数乘向量 实数λ和向量 a的乘积是一个向量 ,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 向量的数乘 当λ＜0时,λa与a反方向； 向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向随意. 当a=0时,对于随意实数λ ,都有λa=0. 注：按定义知,假如λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量 a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量 a的有向线段伸长或压 缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞ 0）或反方向（λ＜0）上伸长为原 来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞ 0）或××反方向（λ＜0）上缩短 为本来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法知足下边的运算律 联合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb). 向量对于数的分派律（第一分派律） ：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分派律（第二分派律） ：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 假如实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②假如a≠0且λa=μa,那么 λ=μ. 4、向量的数目积 定义：已知两个非零向量 a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉 并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数目积（内积、点积）是一个数目 ,记作a·b.若a、b不共线,则 a·b=|a|·|b| ·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数目积的坐标表示： a·b=x·x+y·y.向量的数目积的运算律 a·b=b·a（互换律）； (λa)·b=λ(a·b)(对于数乘法的联合律)； a+b)·c=a·c+b·c（分派律）；向量的数目积的性质 a·a=|a|的平方. a⊥b〈=〉a·b=0. |a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明以下：|a·b|=|a| ·|b|·|cosα|由于0≤|cosα|≤1, 因此|a·b|≤|a| ·|b|） 向量的数目积与实数运算的主要不一样点 1、向量的数目积不知足联合律 ,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；比如：(a·b)^2≠a^2·b^2. 2、向量的数目积不知足消去律 ,即：由a·b=a·c(a≠0), 推不出b=c. 3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由|a|=|b|, 推不出a=b或a=-b. 5、向量的向量积 定义：两个向量 a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量 ,记作a×b（这里其实不是乘号, 不过一种表示方法 ,与“·”不一样,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b ∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于 a和b,且a、b和a×b按这个序次组成 右手系.若a、b共线,则a×b=0. 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=0. a垂直b〈=〉a×b=|a||b|. 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； a×（b+c）=a×b+a×c. 注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没存心义的.