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第二章 矩阵及其运算
13? 已知线性变换?
?? x ? 2 y
2 y ? y
?
x? 1 ? 3 y1 ? y 2? 5 y3
x
?? x2 ? 3 y1 ? 2 2y ? 3 3y
3 1 2 3
求从变量 x1? x2? x3 到变量 y1? y2? y3 的线性变换?
解 由已知?
? x ? ? 2 2 1 ?? y ?
????x1 3 1 5 ??
?
?
?
?
x
y1 ? ?
? x2 ? ? 3 2 3 ?? y2 ?
? 3 ? ?
?? 2 ?
? y ? ? 2 2 1 ?? 1? x ? ? ? 7 ? 4 9 ?? y ?
x ? 6 3 ? 7 y故 ? y1 ? ?
x ? 6 3 ? 7 y
1 ? ? ?? 1 ? ?
? y2 ? ? 3 2 3 ? ? x2 ? ?
3 2 ? 4 ?? y2 ?
2? ? ?
2
? ? 3 ? ? ?? 3 ?
?? y ? ? 7 x ? 4 x
9 x
?
y? 1 ? 6 x ?1 3 x ?2 7 x 3
y
?? y2 ? 3 x1 ? 2 x2 ? 4 x3
3 1 2 3
3? 已知两个线性变换
?? x ? 2 y ? y
? ?? y ? ? 3 z ? z ?
xy? 1 ? ? 21 y ?33 y
x
y
2 y
? 1 ? 2 z
?1 z 2
z?? x2 ? 4 y ?1 y ? 25 y 3 ?? y2 ? ? 1 ? 33z
z
3 1 2 3 3 2 3
求从 z1? z2? z3 到 x1? x2? x3 的线性变换?
解 由已知
? x ? ? 2 0 1 ?? y ? ? 2 0 1 ?? ? 3 1 0 ?? z ?
????x1 ? 2 3 2 ??
?
?
?
?
x
y1 ?
? ? ? 2 3 2 ??
2 0 1 ??
z1 ?
? x2 ? ? 4 1 5 ??
y2 ? ? 4 1 5 ?? 0 ? 1 3 ?? z2 ?
23? 3 ? ? ?? ? ? ?? ?? ?
2
3
? ? 6 1 3 ?? z ?
? ? 12 ? 4 9 ?? z1 ? ?
? ? 10 ? 1 16 ?? z2 ?
??? ?
?
?
3
所以有?? x ? ? 6 z ? z
3 z
?
? x1
? 12 z1 ? 42z
? 93z
?? x2 ? ? 101 z ? z2 ? 163z
3 1 2 3
?1 1 1 ? ? 1 2 3 ?
2? 设 A ? ?1 1 ? 1? ? B ? ? ? 1 ? 2 4 ? ?
? ? ? ??1 ? 1 1 ?
? ? ? ?
求 3AB?2A 及 ATB?
?111??12 3 ??111??1 ? 1 1 ?? 0 5 1 ? ?1 ? 1? 1?1 ?
?1
1
1
??
1
2 3 ?
?1
1
1
?
?1 ? 1 1 ?? 0 5 1 ? ?1 ? 1
? 1?
1 ?
?
? 05 8 ??1
? 0
5 8 ?
?1
1
1
?
? ? 2
13
22 ?
20 ?
? 3? 0 ? 5 6 ? ? 2?1 1 ? 1? ? ? ? 2 ? 17 ?
? ? ? ? ? ?? 2 9 0 ? ?1 ? 1 1
? ? ? ? ? ?
?1 1 1 ?? 1 2 3 ? ? 0 5 8 ?
ATB ? ?1 1 ? 1?? ? 1 ? 2 4 ? ? ? 0 ? 5 6 ? ?
? ?? ? ? ??1 ? 1 1 ?? 0 5 1
? ?? ? ? ?
1? 计算下列乘积?
? 4 3 1 ?? 7 ?
(1)? 1 ? 2 3 ?? 2 ? ?
5 7 0 1? ??
5 7 0 1
? ?? ?
? 4 3 1 ?? 7 ? ? 4 ? 7 ? 3 ? 2 ? 1?1 ? ? 35 ?
解 ? 1 ? 2 3 ?? 2 ? ? ?1? 7 ? (? 2) ? 2 ? 3 ?1? ? ? 6 ? ?
? 5 7 0 ?? 1 ? ?
5 ? 7 ? 7 ? 2 ? 0 ?1
? ? 49 ?
? ?? ? ?
? 3 ?
(2) (1 2 3)? 2 ? ?
1? ?
1
? ?
? ? ?
? 3 ?
解 (1 2 3)? 2 ? ?(1?3?2?2?3?1)?(10)?
1? ?
1
? ?
? 2 ?
(3)? 1 ?(? 1 2) ?
3? ?
3
? ?
? 2 ?
? 2 ? (? 1) 2 ? 2 ? ? ? 2 4 ?
解 ? 1 ?(? 1 2) ? ? 1? (? 1) 1? 2 ? ? ? ? 1 2
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