动物群体的常微分方程模型暑期选讲.ppt

图 5-1 * 第二十九页，共八十四页，2022年，8月28日 在L4上，随 t 的增加，动点（x(t) ，y(t))依逆时针而动，事实上，点 s 是使 L1：z=w; L2：z=yae-by； L3：w=Kx-cedx ； L4：狐兔曲线。 * 第三十页，共八十四页，2022年，8月28日 的平衡点（或称奇点），考虑点P2，P2的横坐标大于 ,故在P2点， ，y 增加，在P2 处向上运动，可见是逆时针运动。 现在考虑对两个物种同时进行捕捉，既抓兔子也捉狐狸，于是，模型（8）变成修正模型： （10） * 第三十一页，共八十四页，2022年，8月28日 从图 5-1中已经看到，x(t)，y(t)是周期为T 的周期函数，同理（10）的解x(t)、y(t)也是周期函数。 对于（8）， x(t)，y(t)的平均值 为： * 第三十二页，共八十四页，2022年，8月28日 又 得： 而 * 第三十三页，共八十四页，2022年，8月28日 故 于是 同理可得 * 第三十四页，共八十四页，2022年，8月28日 对于（10）则得 由（11）可知，当捕捉率 不超过兔子的繁殖率 a 时，兔子反而会增加，狐狸要减少，反过来，捕捉率降低，平均而言，会增加狐狸的数目，而减少兔子的数目。 （11） * 第三十五页，共八十四页，2022年，8月28日 意大利生物学家棣安奇纳（D.Ancona）发现，第一次世界大战那些年代，地中海各港口捕鱼量百分比表明，掠肉鱼（例如鲨鱼）的百分比急剧增加，从上述数学分析中，对这种现象已经有了理论上的解释。事实上，那时战火连天，渔民大量停业，使捕捉率下降，所以相当于狐狸的掠肉鱼明显增加。 这种结论在农业防治病虫害上有很大意义，例如，有两个物种（可能是两 * 第三十六页，共八十四页，2022年，8月28日 种昆虫或害虫与青蛙等），一者是作物的害虫，一者是害虫的天敌，若施农药不当，虽然可以杀灭一些害虫，但同时也杀死了害虫的天敌，这一“捕捉行为”的实施，由上述结论知，可能造成天敌的减少，害虫的增多，事与愿违，与其施用少量农药治虫，不如采用生物治虫的办法。 * 第三十七页，共八十四页，2022年，8月28日 §5 竞争排斥模型 在自然界中不难发现这种现象，两种生物为了争夺有限的同一食物、生活空间或配偶，进行着激烈的斗争。达尔文在《物种起源》一书中明确指出：“最剧烈的斗争，差不多总是发生在同种的个体，因为它们居住在同一地域，需要同样食物，遭受同样威胁。在同种的变种之间，其斗争之剧烈，大体如此，且有时在短期内即见胜负。” 这里用数学模型及其解的定性分析来论证达尔文的上述思想。两种相似的 * 第三十八页，共八十四页，2022年，8月28日 生物之间为争夺生存条件而斗争，直至其中一种生物物种完全灭绝才会中止的现象称为“竞争排斥原理”。这一原理的生物学解释是：已知生物群体在群落中有何种习性、食物和生活繁衍方式等，叫这一种群体“生态龛”。两种同类群体，难以占有同一生态龛。事实上，如果两个群体力图持有同一个生态龛，那么他们之间的生存竞争将是异常之激烈，且以弱者灭亡而告终。生态龛也可称为“小环境”。 * 第三十九页，共八十四页，2022年，8月28日 在单种群模型中 且当t ? ? 时， 记 这个极限可以认为是这个环境中可以承受的生物体最大数量。又 * 第四十页，共八十四页，2022年，8月28日 （12） （12）可以解释如下：当N 很小时，N(t) 按照马尔萨斯定律 * 第四十一页，共八十四页，2022年，8月28日 增长，aN 叫“生物势”，它是理想条件下，物种的可能增长率。只要对食物、配偶和空间不加限制，又无各个成员因排泄等造成的对环境毒化引起流行病害，这种增长率是可以实现的。但是，随着总数的增加， 随 的减少而减少。 今设N1(t) ，N2(t)分别为物种A和物种B在时刻t的数量，K1和K2分别是A与B在小天地中最大可能的个数，那么， N1(t) ，N2(t) 满足下面的数学模型（设K1≠K2): * 第四十二页，共八十四页，2022年，8月28日 (13) 其中m2为第二物种B占据A的位置的数量，m1为A占据B的位置的数量。m2= αN2 ， m1= β N1 ，如果A和B占有不同的生态龛，利害不冲突。当α=β=1 ，这时（13）变成： * 第四十三页，共八十四页，2022年，8月28日 （14） * 第四十四页，共八十四页，2022年，8月28日 § 6　竞争排斥原理的数学分析 　　 为了从数学上分析（14）中N1