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zenke多项式拟合波面的选择 zerik多项式结构与原始图像有一定的对应关系，易于与光学设计中使用的seidl图像差异函数相结合。在实际的光学试验中，数据波前通常由不同的波像差混合。通过zearik多项式匹配，可以简单地获得各种波像差的具体数据量，这有利于进一步的数据处理，这为有效处理不同的成像差异系数提供了途径，优化系统的性能。 文中用Zernike多项式拟合高次非球面, 研究了Zernike多项式在拟合干涉波面时阶次的选择对拟合精度的影响, 以及正确选取拟合波面所需的Zernike多项式的阶次后, 被拟合波面数据采样点的多少对拟合精度的影响和采样点数的高低是否是提高拟合精度的先决条件。 1 法微分方程的求解 波面拟合是选择一个线性无关的基底函数系的组合W (x, y) 来拟合离散波差函数w (xi, yi) , 由连续的W (x, y) 函数表征被测系统的面形。 将被测波面用n项Zernike多项式表示为 其中, q= (q1, q2, …, qn)T为Zernike多项式系数;Z=[Z1(x, y) , Z2(x, y) , …, Zn(x, y) ]为n项Zernike多项式。 现有m个离散数据点wi(xi, yi) , i=1, 2, …, m。令aij=Zj(xi, yi) , i=1, 2, …, m;j=1, 2, …, n。代入式 (1) 得到矛盾方程组 (mn) 简记作 其中, A= (aij) 为m×n矩阵;q= (q1, q2, …, qn)T;W= (w)1, w2, …, wmT。 矛盾方程组 (2) 一般不存在通常意义下的解, 要用最小二乘准则来求解参数q1, q2, …, qn, 从而得到法方程组 求解此方程组 (4) 即可得到q1, q2, …, qn。由于构造出的法方程组往往是严重病态的, 会造成计算错误, 导致求解失败。因此文中采用Householder变换把系数正交三角化, 直接求解拟合系数。具体过程是:首先用数学函数f (x, y) 表示待测非球面, 对其进行采样, 得到离散数据点, 然后利用Householder变换法拟合该非球面, 得到用Zernike多项式表达的波面函数g (x, y) , 令W (x, y) =f (x, y) -g (x, y) , 根据W (x, y) 的峰谷值PV和均方根值RMS来判断Zernike多项式对非球面波前误差的拟合精度。 2 zern东南角阶次对拟合精度的影响 Zernike多项式拟合高次非球面的面形方程为 其中, c=-1/1 732.323, k=-0.445 957, B4=5.945 535 9E-12, B6=2.771 781 7E-18。 用Matlab绘出该非球面的面形图, 如图1所示。 Zernike多项式的基函数都代表一种像差。对于一般非球面检测中遇到的实际波面, 用36项Zernike多项式已经完全足够。Zernike多项式的每一项基函数都代表一种具体像差, 第一项表示平移, 第二、三项表示倾斜, 第四项为离焦, 第五、六项为像散, 第七、八项为彗差, 再后面的项表示的是一些高级像差。数据波前往往由多种波像差混合而成, 这样通过Zernike多项式拟合, 就可以容易得出各种波像差的具体数据量, 有利于进一步数据处理。 用Zernike多项式对该非球面进行拟合, 结果发现取前24项拟合时会出现病态, 因此在研究Zernike多项式阶次的选择对拟合精度的影响时, 项数最多取到23项。表1为Zernike多项式阶次对该拟合非球面的RMS值和PV值的影响。 将该非球面的各项参数, 输入光学设计软件code v中, 根据检测非球面的具体光路, 可以得到其RMS值为6.328e-09, PV值为31.64e-09。Zernike多项式是一个函数系, 从原则上讲, 选择尽可能高阶的Zernike多项式来拟合干涉波面, 将可以使光学干涉波面的拟合精度尽可能地提高。然而, 当把拟合干涉波面的Zernike多项式的阶次提高到一定程度的时候, 波面拟合函数的一致性遭到严重破坏, 其拟合精度反而大大降低, 出现病态。由表1可以看出, 随着Zernike多项式阶次的增加, 拟合精度逐渐提高。但当增加到第24项时, 结果出现严重病态, 拟合精度大大降低, 表1中所示前14项拟合, 一直到前19项拟合, 其拟合波面的RMS值和PV值相同, 与用光学设计软件设计出的检测非球面系统得到的波面RMS值和PV值数量级相同, 结果相近, 达到较高的拟合精度。 因此研究发现, 追求高阶次的Zernike多项式拟合, 结果往往不是最优的, 要综合选择Zernike多项式的阶次, 使其拟合结果达到较高的拟合精度。 3 采样点大小对拟合精度的影响 通过表1 Zern