数分定积分应用习题.docx

定积分应用 习题课资料 求由曲线 y ? , y ? x2 和直线 y ? 2x 在 y ? 2 内所围平面图形的面积。 x 4 x 求心形线r ? 1 ? cos? 所围图形与圆盘r ? cos? 的公共部分的面积。 设为曲线 ?x ? cost, ? ? ? y ? 2sin2t, 0 ? t ? 2 上的一点，此曲线与直线 OM 及轴所围图形的面积为，求的坐标。 dS 取得最大值时，点 dt 2 ? x2求由曲线 y3 ? x2 2 ? x2 ? 所围图形的面积、绕轴旋转所得旋转体的体积。 ? 设曲线 y ? sin x(0 ? x ? 成的旋转体的体积。 ), y ? 1, x ? 0 围成平面图形记为，求绕直线 x ? 2 旋转而 2 设抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 过原点，当0 ? x ? 1 时， y ? 0 ，又已知该抛物线与轴及 1直线 x ? 1 所围图形的面积为 ，试确定 a,b, c 使此图形绕轴旋转而成的旋转体的 1 3 体积最小。 一开口容器的侧面和底面分别由曲线弧段 y ? x2 ?1(1 ? x ? 2) 和直线段 y ? 0(0 ? x ? 1) 绕轴旋转而成，坐标轴长度单位为，现以 2m3 / min 的速度向容器内注水，试求当水面高度达到容器深度一半时，水面上升的速度。 半径为的半球形水池充满水，将水从池中抽出，当抽出的水所作的功为将水全部抽空所作的功的一半时，水面下降的深度为多少？ 习题解答 解：解方程组 ? y ? 2 , ? x2 ? 2 ? x ? y ? , ? y ? , ? ? 4 ? x ?? y ? ? ? x2 , ?? y ? 2x, 4 ?? y ? 2x, 得交点 A(2,1), B(8,16),C(1,2) .所求面积为 S ? ? 2 (2x ? 2)dx ? ? 8(2x ? x2 )dx ? 21 ? 2ln 2 1 x 2 4 解：由 ?r ? cos?, ??r ? 1 ? cos? ? 得? 1,2 ? ? ? 3  ,于是所求面积为 32S ? 2[?? 1 (1 ? cos?) d? ? ?? 1 cos ? d?] 3 2 2 2 0 2 ? 2 3 ?? [3? ? 2s i n? ? 1 ? ? [1 ? ? 1 ? ? ? 2 4 3? 7 ? ? 3 12 s i n2 ]3 0 s i n ]2 2 4 ? 3 解:设点的坐标为(cost,2sin2t) ,此曲线与直线OM 及轴所围图形的面积为 1S ? cos t(2sin 2 t) ? sin 2 t cos t ? ? 1 ydx 1 2 cos t ? sin2 t cost ? ? 1 cos t 2(1 ? x2 )dx dS ? 2sin t cos2 t ? sin3 t ? 2(1 ? cos2 t)(?s i nt) dt ? 2s i nt ? s i n3t 令 d 2 S dt 2 ? 2 cos t ? 3sin 2 t cos t ? 0 2323? ? 2 3 2 3 ? ? 得 在 (0, ) 内的驻点 t arcsin , 又 t arcsin 为 的极大值点, 故 dt 2 dt 233t ? arcsin 时 dS 取得最大值,此时的坐标为( , 4) 2 3 3 dt 3 3 解: 解方程组 ?? y ? 2 ? x2 , ? ?? y3 ? x2 得交点 A(1,1), B(?1,1) ,又由图形关于轴对称,故所求面积为 2 ? x2x2 ? 2 ? x2 x 2 ? x2 S ? 2? ( ? x 3 )dx ? 2[ arcsin ? x3 ]1 20 2 5 0 2 ? ?? 2( 1 ? 3) ? ? ? 1 ? ? 2 4 5 2 5 旋转体的体积为 1 4 52 V ? 2? ? [(2 ? x2 ) ? x 3 ]dx ? ? 0 21 解:方法一(切片法) 取为积分变量,积分区间为[0,1] ,对应于任一小区间 [ y, y ? dy] , ? 平面区域上有宽度为的窄条,此窄条绕直线 x ? ? ? 旋转得到厚度为的圆环,其体积为 2 dV ? [? ( )2 ? ?( ? x)2 ]dy ? ?[? arcsin y ? (arcsin y)2 ]dy 2 2 所求旋转体的体积为 1 ? y2V ? ? 2 ?1arcsin ydy ? ? ?1(arcsin y)2 1 ? y2 ? ? 2[ y arcsin y ? 1 ? y2 ]1 0 ?[ y(arcsin y)2 ? 2 arcsin y ? 2 y]1 0 ? ? 3 4 ? ? 2 ?