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数学文化题汇总 Revised on November 25, 2020 一、 数学名着中的立几题，例如：2015 年全国 1 卷文 6 理 6 题； 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着， 书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺， 问”积及为米几何”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图， 米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米 堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知 1 斛米的体积约为立方 尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ） （A）14 斛 （B） 22 斛 （C） 36 斛 （D） 66 斛 二、 数学名着中的数列题，例如：2011 年湖北卷文 9 理 13 题； 13.《九章算术》“竹九节”问题：现有 1 根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容 积 为 升 。 三、 数学名着中的算法题，例如：2015 年全国 2 卷文 8 理 8 题； （8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中的 “更相减损术”。执行该程序框图，若输入 a,b 分别为 14,18，则输出的 a= .2 C 四、 数学名着中的统计题，例如：2015 年湖北卷文 2 理 2 题 2．（5 分）（2015 湖北）我国古代数学名着《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷 28 粒，则这 批米内夹谷约为（ ） A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石 五、 杨辉三角，例如：2004 年上海春季卷 11 题； 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为2 : 3 . 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 六、 祖暅原理，例如：2013 年上海卷理 13 题；第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 …… …… …… 13．在 xOy 平面上，将两个半圆弧(x ?1)2 ? y2 ? 1(x ? 1) 和(x ? 3)2 ? y2 ? 1(x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成 的封闭图形记为 D，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为? ，过(0, y)(| y |? 1) 作? 的水平截面， 所得截面面积为4? 1 ? y2 ? 8? ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出? 的体积值为 七、 形数，例如：2009 年湖北卷文 10 理 10 题； 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如： 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2 中的 1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 八、 斐波那契数列，例如：2009 年福建卷理 15 题 15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同 学所报出的数之和； ②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100 个数时，甲同学拍手的总次数为 九、 阿波罗尼斯圆，例如：2014 年湖北卷文 17 题； 17．（5 分）（2014 湖北）已知圆 O：x2+y2=1 和点 A（﹣2，0），若定点 B（b，0） （b≠﹣2）和常数λ 满足：对圆 O 上任意一点 M，都有|MB|=λ|MA|，则： （Ⅰ）b= ； （Ⅱ）λ= ． 十、 伯努力不等式，例如：2012 年湖北卷理 22 题； 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x?=rx-xr + ?1-r ??x0?，其中r 为有理数，且0r1.求 f ?x?的最小值； 试用（1）的结果证明如下命题： 设a ? 0,a ? 0,b ,b 为正有理数，若b +b =1，则a b a b ? a b +a b ； 121 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当? 为正有理数时，有求导公式?x? ?=? x? -1 十一、 回文数，例如：2012 年湖北卷文 13 题； 13．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则 (1)与 2a＋b 同向的单位向量的坐标表示为 ； (2)向量 b－3a 与向量a 夹角的余弦值为 ． 十二、 数字