重点高中基本不等式经典例题教案.docx

重点高中基本不等式经典例题 教案 ————————————————————————————————作者： ————————————————————————————————日期： 2 全方位教学指导教案 学科：数学任课教师：授课时间：2012年11月3日星期 姓名性别女年级高二总课时：第次课 教 学 均值不等式应用（技巧） 内 容 教 学 1、熟悉均值不等式的应用题型 目 标 2、掌握各样求最值的方法 重 点 重点是掌握最值应用的方法 难 点 难点是不等式条件的应用 课前 作业达成情况： 检查 教 与交 交流与交流 流 一．均值不等式 2 2 1（.1）若a,b R，则a2 b2 2ab (2)若a,b R，则ab a b（当且仅当a b 学 针 时取“=”） 2 R*，则a b 对 2.(1)若a,b ab(2) 若a,b R*，则a b 2 ab（当且仅当a b 2 过 性 时取“=”） a b 2 * 当且仅当a b时取“=”） (3)若a,b ( R ，则ab 2 授 1 1 3.若x0，则x (当且仅当x 1时取“=”）;若x0，则x 2 2(当且仅当 程 课 x x 1时取“=”） 若x 0，则x 1 1 2或x 1 -2( 当且仅当ab时取“=”） x 2即x x x 3. 若ab 0，则a b 2 (当且仅当a b时取“=”） b a 若ab 0，则a b 2即a b 2或a b -2(当且仅当a b时取“=”） b a b a b a 4. 若a,b R，则(a 2 b)2 a2 b2 （当且仅当a b时取“=”） 2 注：（1）当两个正数的积为定植时，能够求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有宽泛的应用． 3 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x2＋1 1 2x2 （2）y＝x＋x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：(2)y2x 1,x3。 x 3 变式：已知x 5 y4x2 1 的最大值 ，求函数 4x 4 5 。 技巧二：凑系数 例1.当时，求yx(82x)的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只要将 x(82x)凑上一个系数即可。 评注：此题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可获得和为定值，进而可利用均值不等式求最大值。 变式：1、设0x 3 y 4x(32x)的最大值。并求此时 x的值 ，求函数 2 4 2．已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.； 3．0x 2 y x(23x)的最大值. ，求函数 3 技巧三： 分别 例3.求y x2 7x10(x1)的值域。 x1 技巧四：换元 解析二：此题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分别求最值。 y 2 ） =t 2 5t 4 t 4 5 (t1)7(t 1+10 t t t 当 ,即t= 时,y 2 t 4 9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 5 t 评注：分式函数求最值，往常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为 y mg(x) A B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然 g(x) 后运用均值不等式来求最值。 变式 (1)y x2 3x1,(x0) x 5 a 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应联合函数f(x)x x 的单一性。 例：求函数 x2 5 y 的值域。 x2 4 1 1 解：令 x2 4t(t 2) ，则y x2 5 x2 4 4 t (t2) 1 1 x2 4 x2 t 因t0,t 1，但t 解得t 1不在区间 2, ，故等号不建立，考虑单一性。 t 1 t 5 因为y t 1, 单一递增，所以在其子区间 2, 为单一递增函数，故y 在区间 。 t 2 所以，所求函数的值域为5,。 2 条件求最值 1.若实数知足ab 2，则3a 3b的最小值是 . 变式：若log4xlog4y 1 1 2，求 的最小值.并求x,y的值 x y 技巧六：整体代换： 2：已知x0,y0，且191，求xy的最小值。 xy 。 变式：（1）若x,yR 且2xy 1 ，求1 1的最小值 x y (2)已知a,b,x,y R且a b 1，求x y的最小值 x y 6 技巧七、已知x，y为正实数，且 x2＋y2 1＋y 2 的最大值. 2＝1，求x 1 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数 y＝ab的最小值. 剖析：这是一个二元函数的最值问