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奇偶性 任意 f(-x)=f(x) 任意 f(-x)=-f(x) 原点 y轴 对奇、偶函数的理解 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称,若x是定义域中的一个数值,则-x也必然在定义域中,因此函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称. (2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质. (3)如果奇函数y=f(x)的定义域内有零,则由奇函数的定义知f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0),∴f(0)=0. [思路点拨] 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: (1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性. , (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数. [思路点拨] 先判断f(x)的奇偶性,再利用奇偶性作出图象. 若知道一个函数的奇偶性,则只需把它的定义域分成关于原点或y轴对称的两部分,得到函数在其中一部分上的性质和图象,利用图象的对称性就可以推出函数在另一部分上的性质和图象. 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x+3,求f(x)的解析式. [思路点拨] 先将x0时解析式转化到x0上求解,同时注意根据f(x)是定义在R上的奇函数求得f(0). 解答该类问题的思路是: (1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 注意,若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必f(0)=0.
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