把m个球放到n个盒子里,有多少种方法 球盒问题,8种情况.doc

PAGE / NUMPAGES 球盒问题 一、球相同，盒子相同，且盒子不能空 　例1.8个相同的球放入3个相同的盒子中,每个盒子中至少有一个。 问有多少种不同的放法？ 解析 球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将８个球分成三堆，每堆至少一个. 由于这里球和盒子都相同，每三堆放入３个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆. 即１—1—６、1-2-５、1-3－4、2-2－４、２－3—３五种,故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，　有五种不同的放法。 结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子(n≥m),不能有空盒时的放法种数等于n分解为ｍ个数的和的种数。 二、球相同,盒子相同,且盒子可以空 例2.8个相同的球放入3个相同的盒子中. 问有多少种不同的放法？ 解析　　与上题不同的是分成的三堆中,上题中的每一堆至少有一个球,而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为１—7、2-6、3—5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中。，有十种不同的放法． 结论 ｎ个相同的球放入m个相同的盒子(n≥ｍ）,可以有空盒时的放法种数等于将n分解为ｍ个、(m－1)个、(m—２）个、…、2个、1个数的和的所有种数之和． 三、球相同，盒子不同，且盒子不能空 例3．８个相同的球放入标号为１、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个。 问有多少种不同的放法?(隔板法) 解析 这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同,所以不能再用前面的解法. 将8个球排成一排,形成7个空隙，在７个空隙中任取两个插入两块隔板，有=种，这样将８个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内。 故将8个相同的球放入标号为１、２、３的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有2１种不同的放法． 结论 　n个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n≥ｍ），不能有空盒的放法数. 四、球相同,盒子不同，且盒子可以空 例４．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中. 问有多少种不同的放法? 解析 与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个. 还是利用隔板原理将8个球分为三堆,只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板． 　首先将８个球排成一排，就有9个空,任取一个空插入一块隔板,有种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的1０个空中，有种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入２号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中。 故一共有种. 或者,将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即种． 例3也可利用上面的分法来解,8个相同的球放入标号为1、２、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个。　先放一个到每个盒子中，只有一种放法. 然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，有种。 结论　ｎ个相同的球放入m个不同的盒子中（ｎ≥m)，可以有空盒的放法数. 五、球不同，盒子相同,且盒子不能空 例5．8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个． 问有多少种不同的放法? 解析　 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了,因为放入盒子只有一种情况。 而8个球分成三堆，各堆球数依次为1—1—6、1—2－５、1—3-4、2-２-4、２-3-３五种。 对情况１－１－6有种分法，对情况1-2－5有种分法，对情况1－3—4有种分法，对情况２—２—4有种分法，对情况２-3-3有(注意,分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘).故一共有＋+++=９6６种． 结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中(n≥m）,不能有空盒的放法种数等于n个不同的球分成m堆的种数。 六、球不同，盒子相同，且盒子可以空 例6。8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？ 解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为０的,即分成两堆，１—7、2－６、3—5、4－4四种情况,有；二是有两堆为0的，即只分成一堆,一种情况． 所以一共有966+127+1=1０9４种． 结论　ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中(n≥m)，可以有空盒的放法种数等于将n个不同的球分成m堆、(ｍ－1）堆、（ｍ—2)堆、…、2堆、１堆的所有种数之和. 七、球不同，盒子不同，且盒子不能空 例７.８个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中,每个盒子中至少有一个.　问有多少种不同的放法？ 解析 这个问题就等价于“8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法？” 就是在例５先分堆的基础上，再加一步,分到三个不同的盒子中.　即966=5796种． 结论 ｎ个不同的球放入m个不同的盒子中