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数学模型姜启源答案 【篇一：姜启源课后习题】 xt第 1 章 建立数学模型 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如 何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第 6 页） 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全 过河呢？一般地，有 n 名商人带 n 名随从过河，船每次能渡 k 人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与 k 应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第 7 页） 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物， 而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？ 有 3 对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？ 如果银行存款年利率为 5.5%，问如果要求到 2010 年本利积累为 100000 元，那么在 1990 年应在银行存入多少元？而到 2000 年的本利积累为多少元？ 某城市的 logistic 模型为dn11 dt?25n?25?10 6n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市 1990 年人口总数为 8000000 人，试求该市在未来的人口总数。当 t??时发生什么情况。 假设人口增长服从这样规律：时刻 t 的人口为 x(t)，最大允许人口为 xm，t 到 t??t 时间内人口数量与 xm?x(t)成正比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞 增长模型的结果进行比较。 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些 时间？ 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请 问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？ 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。 如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪 些信息？ 第 2 章 初等模型 2.1 学校共 1000 名学生，235 人住在 a 宿舍，333 人住在 b 宿舍， 432 人住在 c 宿舍。学生们要组织一个 10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分 较大者. （2）2.1 节中的 q 值方法. d’hondt方法： 将各宿舍的人数用正整数 n?1,2, 3,?相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前 10 个(10 为席位数),在数字下标以横线， 表中 a，b，c 行有横线的数分别为 2，3，5，这就是 3 个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从 10 人增至 15 人，用以上 3 种方法再分配名额.将 3 种方法两次分配的结果列表比较. 你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 2.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏 50 克装的每支 1.50 元,120 克装的每支 3.00 元,二者单位的重量的价格比是 1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象. （1）分析商品的价格 c 与商品重量 w 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量 w 成正 比，有的与表面积成正比，还有与 w 无关的因素。 (2)给出单位重量价格 c 与w 的关系。画出它的简图，说明 w 越大 c 越小，但是随着 w 的增加 c 减小的程度变小。解释实际意义是什么。 2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了 8 条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。 2.4 用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。 雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比， 试确定雨速与雨滴质量的关系。 生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维 持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设 下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。 速度为 v 的风吹在迎风面积 s 为的风车上，空气密度是 ?。用量纲分析方法确定风车获得的功率 p 与 v，s，?的关系。 雨速的速度 v 与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度 g 有关， 其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和 接触面积的乘积成正比，比例系数为