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待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)
责编:常春芳
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;
2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,二次函数三种形式是可以互相转化的.
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 :
(1)一般式:(a,b,c为常数,a≠0);
(2)顶点式:(a,h,k为常数,a≠0);
(3)交点式:(,为抛物线与x轴交点的横坐标,a≠0).
2.确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步,设:先设出二次函数的解析式,如或,
或,其中a≠0;
第二步,代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组);
第三步,解:解此方程或方程组,求待定系数;
第四步,还原:将求出的待定系数还原到解析式中.
要点诠释:
在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:①当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为;②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为;③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)时,可设函数的解析式为.
【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1.已知二次函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点,求此二次函数的解析式.
【答案与解析】
本题已知三点求解析式,可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由题意得:
解得
∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.
【总结升华】若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式:y=ax2+bx+c (a≠0).
举一反三:
【高清课程名称:待定系数法求二次函数的解析式
高清ID号: 356565 关联的位置名称(播放点名称):例1】
【变式】(2014秋?岳池县期末)已知二次函数图象过点O(0,0)、A(1,3)、B(﹣2,6),求函数的解析式和对称轴.
【答案与解析】
解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
把O(0,0)、A(1,3)、B(﹣2,6)各点代入上式得
解得,
∴抛物线解析式为y=2x2+x;
∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣.
2.(2015?巴中模拟)已知抛物线的顶点坐标为M(1,﹣2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式.
【答案与解析】
解:已知抛物线的顶点坐标为M(1,﹣2),
设此二次函数的解析式为y=a(x﹣1)2﹣2,
把点(2,3)代入解析式,得:
a﹣2=3,即a=5,
∴此函数的解析式为y=5(x﹣1)2﹣2.
【总结升华】本题已知顶点,可设顶点式.
举一反三:
【高清课程名称:待定系数法求二次函数的解析式
高清ID号: 356565 关联的位置名称(播放点名称):例2】
【变式】在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为,且过点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.
【答案】(1).
(2)令,得,解方程,得,.
∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和.
∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.
3.已知二次函数的图象如图所示,求此抛物线的解析式.
【答案与解析】
解法一:设二次函数解析式为(a≠0),由图象知函数图象经过点(3,0),(0,3).
则有 解得
∴ 抛物线解析式为.
解法二:设抛物线解析式为(a≠0).
由图象知,抛物线与x轴两交点为(-1,0),(3,0).
则有,即.
又,∴ .
∴ 抛抛物物解析式为.
解法三:设二次函数解析式为(a≠0).
则有,将点(3,0),(0,3)代入得
解得
∴ 二次函数解析式为,即.
【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式,它们是相互联系、并可相互转化的,在实际解题时,一定要根据已知条件的特点,灵活选择不同形式的解析式求解.
类型二、用待定系数法解题
4.已知抛物线经过(3,5),A(4,0),B(-2,0),且与y轴交于点C.
(1)求二次函数解析式;
(2)求△ABC的面积.
【答案与解析】
(1)设抛物线解析式为(a≠0),将(3,5)代入得,
∴ .
∴ .
即.
(2)由(1)知C(0,8),
∴ .
【总结升华】此题容易误将(3,5)当成抛物线顶点.将抛物线解析式设成顶点式.
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