二维形式的柯西不等式 课件.ppt

二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式 (ac+bd)2 1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以 写成 吗? 提示：不可以.当b·d=0时，柯西不等式成立，但 不成 立. 2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______. 【解析】根据二维形式的柯西不等式可得： (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13， 所以x2＋y2≥13. 答案：13 3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时 b=______. 【解析】因为｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜, 所以 当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立， 所以 所以a·b的最小值为 此时 答案： 1.对二维柯西不等式的向量形式的理解 (1)柯西不等式的向量形式中， 取等号的条件是 是零向量或者 共线，我们可以从向量的数量积角度来理 解记忆. (2)“二维”是对向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横坐标与纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系. (3)二维柯西不等式的代数形式与向量形式是一致的，只是表现形式不同. 2.二维形式的柯西不等式的变式 类型 一 二维形式柯西不等式代数形式的应用 【典型例题】 1.已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为_____. 2.已知 求证：a2+b2=1. 【解题探究】 1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使 用柯西不等式？ 2.题2中的已知条件应该如何利用？ 探究提示： 1.把待求式子进行平方得到(2x＋y)2并结合已知条件进行变换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待求式子的最大值. 2．题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯西不等式等号成立的条件即可. 【解析】1. 所以 所以2x＋y的最大值为 答案： 2.由柯西不等式，得 当且仅当 时，上式取等号， 所以 于是a2+b2=1. 【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技 巧 (1)要抓住柯西不等式的结构特征. (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R, 或 ,其中a,b,c,d∈R+. 然后进行整体换元、应用. (2)证题时往往需要将数学表达式适当变形，这种变形要求具 有很高的技巧，必须善于分析题目的特征. 类型 二 二维形式柯西不等式向量形式的应用 【典型例题】 1.已知a＞b＞c,若 恒成立，则k的最大值 是______. 2.已知 求函数 的最大值，并 说明等号成立的条件.