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二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式 (ac+bd)2 1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以 写成 吗? 提示:不可以.当b·d=0时,柯西不等式成立,但 不成 立. 2.设x,y∈R,且2x+3y=13,则x2+y2的最小值为______. 【解析】根据二维形式的柯西不等式可得: (2x+3y)2≤(22+32)(x2+y2),又因为2x+3y=13, 所以x2+y2≥13. 答案:13 3.设a=(-2,2),|b|=6,则a·b的最小值是________,此时 b=______. 【解析】因为|a·b|≤|a|·|b|, 所以 当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立, 所以 所以a·b的最小值为 此时 答案: 1.对二维柯西不等式的向量形式的理解 (1)柯西不等式的向量形式中, 取等号的条件是 是零向量或者 共线,我们可以从向量的数量积角度来理 解记忆. (2)“二维”是对向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量:横坐标与纵坐标,因此“二维”就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关系. (3)二维柯西不等式的代数形式与向量形式是一致的,只是表现形式不同. 2.二维形式的柯西不等式的变式 类型 一 二维形式柯西不等式代数形式的应用 【典型例题】 1.已知3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为_____. 2.已知 求证:a2+b2=1. 【解题探究】 1.题1中,结合已知条件与待求的式子,应该怎样建立关系使 用柯西不等式? 2.题2中的已知条件应该如何利用? 探究提示: 1.把待求式子进行平方得到(2x+y)2并结合已知条件进行变换,利用二维形式的柯西不等式找到不等关系,从而求得待求式子的最大值. 2.题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似,可以考虑利用柯西不等式进行转化,通过要证明是等式,考虑柯西不等式等号成立的条件即可. 【解析】1. 所以 所以2x+y的最大值为 答案: 2.由柯西不等式,得 当且仅当 时,上式取等号, 所以 于是a2+b2=1. 【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技 巧 (1)要抓住柯西不等式的结构特征. (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R, 或 ,其中a,b,c,d∈R+. 然后进行整体换元、应用. (2)证题时往往需要将数学表达式适当变形,这种变形要求具 有很高的技巧,必须善于分析题目的特征. 类型 二 二维形式柯西不等式向量形式的应用 【典型例题】 1.已知a>b>c,若 恒成立,则k的最大值 是______. 2.已知 求函数 的最大值,并 说明等号成立的条件.
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