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2022-2023学年高一第二学期第一次月考
数学试题
(考试时间:120分钟;满分:150分)
一、单选题.(共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一项是符合题目要求的.)
1. 若是纯虚数,则a=( )
A. -1 B. 1 C. -9 D. 9
2. 下列命题中正确的是( )
A. 单位向量都相等 B. 相等向量一定是共线向量
C. 若,则 D. 任意向量的模都是正数
3. 已知平面向量满足与的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 等边的边长为3,若,,则( )
A. B. C. D.
5. 函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6. 若复数满足,则复数在复平面内对应点组成图形的面积为( )
A. B. C. D.
7. 以下命题中,正确的是( )
A. 如果两个复数互为共轭复数,那么它们的差是纯虚数
B 如果a+bi=c+di,那么a=c,b=d
C. 复平面上,虚轴上的点与纯虚数一一对应
D. 复平面上,实轴上的点与实数一一对应
8. 定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的,,令,下面说法错误的是( )
A. 若与共线,则 B.
C. 对任意的,有 D.
二、多选题.(共4小题,每小题5分,共20分.每小题有多个选项符合题目要求,多选、错选得0分,漏选得2分.)
9. 下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知向量,则下列命题正确的是( )
A. 的最大值为2
B. 存,使得
C. 向量是与共线单位向量
D. 在上的投影向量为
11. 已知锐角三角形中,设,则下列判断正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 下列结论正确的是( )
A. 若,∠ABC为锐角,则实数m的取值范围是
B. 点O在△ABC所在的平面内,若,则点O为△ABC的重心
C. 点O在△ABC所在的平面内,若,,分别表示△AOC,△ABC的面积,则
D. 点O在△ABC所在的平面内,满足且,则点O是且△ABC的外心
三、填空题.(每小题5分,共20分,其中第16小题第1空3分,第2空2分.)
13 已知函数,若,则______.
14. 已知,是不共线的向量,,,,若A,B,C三点共线,则实数,满足__________.
15. 中,角A,,的对边分别为,,,且满足,,,则的面积为______.
16. 如图,已知复平面上的平行四边形OACB,O为坐标原点,点A、B分别对应的复数为、,M是OC、AB的交点,则点C,M分别对应的复数为______、______.
四、解答题.(共70分)
17. 已知是复数,、均为实数(为虚数单位),且复数在复平面上对应的点在第一象限,求实数的取值范围.
18. 函数的最小正周期为.
(1)求函数在上的单调递增区间;
(2)当时,求的最大值和最小值及对应x的值.
19. 某轮船以V海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60度,轮船从A处向北航行30分钟后到达B处,测得油井P在南偏东15度,且海里.轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点.
(1)求轮船的速度V;
(2)求P,C两点的距离.
20. 设两个向量满足,
(1)求方向单位向量;
(2)若向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
21. 已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求C;
(2)若,求的最大值.
22. 已知函数,.
(1)若,,求的对称中心;
(2)已知,函数图象向右平移个单位,得到函数的图象,是的一个零点,若函数在(且)上恰好有10个零点,求的最小值.
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