初中数学二次函数技巧、知识点速记口诀、几何知识点146条.pdf

常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》 初中数学二次函数技巧、知识点 速记口诀、几何知识点 146 条 穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？——《罗贯中》 初中数学 二次函数解题技巧、知识点速记口诀、几何知识点 146 条 I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c 为常数，a≠0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0 时，开 口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.）则称y 为 x 的二次 函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c （a，b，c 为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点 P （h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与 x 轴有交点 A （x1，0）和 B （x2，0） 的抛物线] 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像 是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=0） 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0 时，P 在 y 轴上；当 Δ= b^2-4ac=0 时，P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向 下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在y 轴右。 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于（0，c） 6.抛物线与 x 轴交点个数 Δ=b^2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ=b^2-4ac=0 时，抛物 线与 x 轴有 1 个交点。 Δ= b^2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当 y=0 时，二次函 数为关于 x 的一元二次方程 （以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程 有无实数根。函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。 画抛物线 y＝ax2 时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取 自变量x 值时常以 0 为中心，选取便 于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c 为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k 为常数，a≠0). (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c ＝0 的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式 y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)， h＝0 时，抛物线 y＝ax2+k 的顶点在 y 轴上；当 k＝0 时，抛物线 a(x-h)2 的顶点在 x 轴上；当 h＝0 且 k＝0 时，抛物线 y＝ax2 的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是 y 轴，则设 y=ax^ 2；如果对称轴是 y 轴，但不过原点，则设 y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c 为常数，a≠0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口 方向向上，a0 时，开口方向向下。IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大。） 则称 y 为 x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。