数列极限数学归纳法.docx

数列、极限、数学归纳法 考试内容 数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 数列的极限及其四则运算． 数学归纳法及其应用． 考试要求 理解数列的有关概念．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题． 理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题． 了解数列极限的意义．掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1 的无穷等比数列前n 项和的极限． 了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题． 复习建议 本讲内容包括数列、极限与数学归纳法三个部分1．数列的知识要点： 理解数列的定义、表示法、数列的分类．理解数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集 N（或它的有限子集｛1， 2，3，…，n，…｝）上的函数 f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…．数列的图象是由一群孤立的点构成的． 对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列 的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这 几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律， 写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛a ｝中，前 n 项和 S 与通项公式 a 的关系，是本章内 n n n ?S (n ? 1) ?容一个重点，要认真掌握之．即a ＝ ?S1 ? S (n ? 2) ．特别要注意的是，若a 适合由a ＝S －S ? （n≥2）可得到的 n n n?1 1 n n n－1 表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子． 等差数列的知识要点： 掌握等差数列定义 a －a ＝d（常数）（n N），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如 n＋1 n a －a ＝a －a ＝d（常数）就说｛a ｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列．还可由 a ＋a ＝2 a 即 3 2 a －a 2 1 ＝a －a n 来判断． n n＋2 n＋1 n＋2 n＋1 n＋1 n 等差数列的通项为a ＝a ＋（n－1）d．可整理成a ＝a ＋（a －d），当 d≠0 时，a 是关于n 的一次式，它的图 n 1 n n 1 n 象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合． 对于A 是a、b 的等差中项，可以表示成 2 A＝a＋b． a ? a 等差数列的前n 项和公式S ＝ 1 n n(n ?1) n－na ＋ d，可以整理成 n 2 1 2 d d S ＝ n2＋ (a n 2 1 )n ．当 d≠0 时是n 的一个常数项为 0 的二次式． 2 等比数列的知识要点：（可类比等差数列学习） a 掌握等比数列定义 n?1 ＝q（常数）（nN），同样是证明一个数列是等比数列的依据．也可a由·a ＝ a 2 来判断． a n n＋2 n n?1 等比数列的通项公式为a ＝a ·qn－1． n 1 ab对于G 是a、b 的等差中项，则G2＝ab，G＝± ． ab 特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q＝1 与 q≠1 两类． 当 q＝1 时，S ＝na ． n 1 当 q≠1 时，S ＝ a ? (1? qn ) a ? a ? q 1 ，S ＝ 1 n ． n 1? q n 1? q 对于数列求和．主要掌握以下几种方法： ① 直接运用公式求和法；② 折项分组求和法；③ 倒序相加求和法；④ 错项相减求和法；⑤ 折项相消求和法． 4．数列极限知识要点： 应掌握数列极限的定义：对于数列｛a ｝，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正数 ，都能在数列找到 n 一项 a ，使得n＞N 时，|a －A|＜ 恒成立，则lim a ＝A，会用此定义证明简单数列的极限． n n n n?? 应掌握极限的运算法则．如果lim a ＝A， lim b ＝B，那么 n n n?? n?? lim (a ±b )＝A±B； n n n?? lim (a b )＝A·B； n n n?? a A lim n?? n ＝ （B≠0）． b B n 1当|q|＜1 时，无穷等比数列多项和S＝ lim S ＝ a ． 1 n n?? 1? q 5．数学归纳法知识要点： 应理解数学归纳法是一种递推方法，它称两个步骤进行．第一步是递推的基础，第二步是递推的根据．二步缺一不可．