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案例展示 2013-07 巧用两点间的距离公式证明不等式 文/张唐蕾 要：通过 习过的两点间的距离公式，去探寻它的几何意义，并将其几何意义应用于等式和不等式证明题中，启发思路，简化证明 过程，感受数 之美妙，提高数 素养。 关键词：不等式；两点间的距离公式；高中数 我们在必修二中学习了平面中两点 P （x ，y ），P （x ，y ）的距 因为对于平面上的三点A ，B，C 有 AC + BC 逸 AB ，所 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 离公式 P P =姨 （x -x ）+（y -y ） 特别地，点A （x ，y ）与原点间的 以 （a-p ）+（b-q ）+ （c-p ）+（d-q ）逸 （a-c ）+（b-d） 1 2 1 2 1 2 姨 姨 姨 2 2 我们再来看下面的例题： 距离公式为 OA =姨x +y 其实两点间距离公式不仅对处理解析 几何问题有重要意义，它的几何意义还在很多方面有着非常广泛 例2.已知0x1，0y1，求证： 的应用.本文就在证明不等式方面举几例加以说明. 2 2 2 2 2 2 2 2 姨x +y +姨x +（1-y ）+姨（1-x ）+y + 姨（1-x ）+（1-y ） 逸 在高中数学解题中，有一类不等式的证明利用常规方法难以 2姨 2 下手，但是若能与两点间的距离公式联系起来，进行恰当的变形 并求使等式成立的条件. 后就可以找到证明的思路，并且证明过程非常简洁，计算也非常 分析：此题若在直角坐标系中，设点画图，就能找到几何证法. 简单，不得不感叹其巧妙之处. 证明：在直角坐标系中，画 首先，我们先来看一个等式的例题： 出 A （1 ，0 ），B （1 ，1 ），C （0 ，1 ） 2 2 2 2 C B（1，1） 例 1.对于任意实数 a ，b ，c ，d ，求证： a +b + 姨c +d 逸 姨 三点. 2 2