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2022-2023学年高二第二学期区域性学业质量监测
数学试题(A卷)
本试卷有第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,满分150分.
注意事项:
1. 答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知函数,则时,的值趋近于( )
A. 2a B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数定义可得答案.
【详解】由题意可得
.
故选:C.
2. 已知向量,,若,则实数( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系,再分别求出和,进而求解.
【详解】解:若,则,
因为已知向量,,所以,解得,
所以.
故选:.
3. 已知平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则平面和平面的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积的运算可证得法向量相互垂直,由此可得出答案.
【详解】记平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,
所以,故,所以.
所以平面和平面的位置关系是垂直.
故选:B.
4. 函数的导函数的图象如图所示,则( )
A. 为函数的零点
B. 函数在上单调递减
C. 为函数的极大值点
D. 是函数的最小值
【答案】B
【解析】
【详解】根据函数零点的概念可判断A;根据导数与函数单调性的关系判断B;根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C,D.
由的图象可知,当时,,
当时,,故为函数的极大值点,A错误;
当时,,故函数在上单调递减,B正确;
当时,,当时,,
故为函数的极小值点,C错误;
当时,,当时,,
故为函数的极小值点,而也为函数的极小值点,
与的大小不定,故不一定是函数的最小值,D错误,
故选:B
5. 如图,在平行六面体中,,,,,E为中点,则AE的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】空间向量,平方求模长即可求解.
【详解】由,两边平方得:
.
所以.
故选:A.
6. 若函数在上是增函数,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数,问题转化为在恒成立,利用判别式即可求出的范围.
【详解】函数,,
若在递增,则在恒成立,
可得,解得,
故选:D
7. 已知的三个顶点分别为,,,则BC边上的高等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.
【详解】由题意,,,
可得,,
,即角B为锐角,所以,
所以边上的高.
故选:B
8. 已知函数有两个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法1,由题意可得有两根,则,,令,对函数求导,求出函数的单调区间,从而画出函数的图象,结合图象可求得结果;
方法2:由题意得有两根,令,对函数求导,求出其单调区间,画出图象,将问题转化为直线与图象有两个交点,从而可求出实数的取值范围
【详解】方法1:,有两个都零点,即有两根,
则,,
设,则,
令,则,,
令,得,则在且;
令,得,则在且;
,图象如图所示,
实数时函数有两个零点.
方法2:
有两个都零点,即有两根,
设,则,
令,则,,
令,得,则在单调递增且;
令,得,则在单调递减且;
,图象如图所示,
设与相切于
则,解得,
所以实数时函数有两个零点.
故选:C
【点睛】关键点睛:此题考查导数的综合应用,考查函数与方程的应用,解题的关键是将问题转化为,,然后构造函数,利用导数求出其单调区间,画出图象,利用数形结合的方法求解,考查数学转化思想和数形结合的思想,属于较难题.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据求导公式以及复合函数的求导法则,可得答案.
【详解】对于A,,故A不正确;
对于B,,故B正确;
对于C,,故C不正确;
对于
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