双曲线典型例题12例.docx

《双曲线》典型例题 12例 典型例题一 例1 议论 x2 y2 1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特点． 25 k 9 k 剖析：因为k 9，k 25，则k的取值范围为k9，9k 25，k 25， 分别进行议论． 解：（1）当 k 9 25 k 09 k 0 ，所给方程表示椭圆，此时a 2 25k， 时， ， b 2 9k ， c 2 2 b 216，这些椭圆有共同的焦点（－ 4 ，），（，）． a 0 40 （2）当9 k 25 时， 25 k0 ， 9k0 ，所给方程表示双曲线，此时， a 2 25 k ，b2 9 k，2 a 2 2 16 ，这些双曲线也有共同的焦点（－，），） c b 40 （4，0）． （3）k25，k9，k25时，所给方程没有轨迹． 说明：将拥有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不如取 一些k值，画出其图形，领会一下几何图形所带给人们的美感． 典型例题二 例2依据以下条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P 15 ， Q 16， 且焦点在座标轴上． 4 3 （2）c6 ，经过点（－5，2），焦点在x轴上． 2 3）与双曲线xy1有同样焦点，且经过点32，2 4 解：（1）设双曲线方程为x2y21 n P、Q两点在双曲线上， 9 225 1 m 16 ∴m 16n 解得 256 25 1 n 9 9m n ∴所求双曲线方程为 x2 y 2 16 1 9 说明：采纳以上“巧设”能够防止分两种状况议论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x轴上，c 6， ∴设所求双曲线方程为： x2 y 2 6） 6 1（此中0 ∵双曲线经过点（－5，2），∴254 1 6 ∴5或 30（舍去） ∴所求双曲线方程是x2 y2 1 5 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： x2 y 2 4 1016 16 ∵双曲线过点32，2，∴ 18 4 1 16 4 ∴4或 14（舍） ∴所求双曲线方程为x2 y2 1 12 8 说明：（1）注意到了与双曲线 x2 y2 1有公共焦点的双曲线系方程为 16 4 x2y2 164  1后，便有了以上奇妙的想法． （2）找寻一种简捷的方法，须有坚固的基础和必定的变通能力，这也是在我们教课中应当着重的一个重要方面． 典型例题三 例3已知双曲线x2 y2 1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左 9 16 支上且PF1PF2 32，求 F1PF2的大小． 剖析：一般地，求一个角的大小，往常要解这个角所在的三角形． 解：∵点P在双曲线的左支上 ∴PF1 PF2 6 2 PF2 2 2 PF1 PF2 36 ∴ PF1 2 PF2 2 100 ∴PF1 ∵ 2 4 2 4 2 12 100 F1F2 a c b F1PF290 说明：（1）奇妙地将双曲线的定义应用于解题中间，使问题得以简单化．（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件特别重点，应惹起我们的 重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论怎样改变呢？请读者尝试究． 典型例题四 例4已知F1、F2是双曲线x2 y2 1的两个焦点，点P在双曲线上且知足 4 F1PF290，求F1PF2的面积． 剖析：利用双曲线的定义及 F1PF2中的勾股定理可求 F1PF2的面积． 解：∵P为双曲线x2 y2 1 上的一个点且F1、F2为焦点． 4 ∴ PF1 PF2 2 a 4 ,F1F2 2c25 ∵F1PF290 ∴在Rt PF1F2中，PF1 2 2 2 20 PF2 F1F2 ∵PF1 PF2 2 2 PF2 2 PF1PF2 16 PF1 2 ∴202 PF1PF2 16 ∴PF1PF22 ∴SF1PF2 1 1 PF1PF2 2 说明：双曲线定义的应用在解题中起了重点性的作用． 典型例题五 例5已知两点F15，0、F25，0，求与它们的距离差的绝对值是6的点的 轨迹． 剖析：问题的条件切合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹． 解：依据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． c5，a3 ∴b2 c2 a2 52 32 42 16 ∴所求方程x2 y2 1 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 9 16 说明：（1）若清楚了轨迹种类，则用定义直接求出其轨迹方程可防止用坐标法所带来的繁琐运算． （2）如碰到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采纳定义去解． 典型例题六 例6 在ABC中，BC 2，且sinCsinB 1sinA，求点A的轨迹． 2 剖析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要波及成立坐标系问题，怎样建系呢？ 解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴成立平面直角坐标系， 则B1，0，C1，0． 设Ax，y ，由sinCsinB 1sinA及正弦定理可