数值分析：常微分方程数值解-2完整版.pptVIP

§4 线性多步法 /* Multistep Method */用若干节点处的 y 及 y’ 值的线性组合来近似y(xi+1)。)...(...110111101kikiiikikiiiffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可写为：当 ??1?0 时，为隐式公式; ??1=0 则为显式公式。? 基于数值积分的构造法将 在 上积分，得到只要近似地算出右边的积分 ，则可通过 近似y(xi+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不同的计算公式。 §4 Multistep Method? 亚当姆斯显式公式 /* Adams explicit formulae */利用k+1 个节点上的被积函数值 构造 k 阶牛顿后插多项式 , 有Newton插值余项/* 显式计算公式 */局部截断误差为：例：k=1 时有 §4 Multistep Method注：一般有 ，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi , …, fi?k 各项的系数均可查表得到 。 10123kfifi?1fi?2fi?3…Bk…………………常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯显式公式 §4 Multistep Method? 亚当姆斯隐式公式 /* Adams implicit formulae */利用k+1 个节点上的被积函数值 fi+1 , fi , …, fi?k+1 构造 k 阶牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列隐式公式，并有 ，其中 与 fi+1 , fi , …, fi?k+1 的系数亦可查表得到。~~10123kfi+1fifi?1fi?2…Bk…………………~常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯隐式公式小于Bk较同阶显式稳定 §4 Multistep Method? 亚当姆斯预测-校正系统 /* Adams predictor-corrector system */Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值；Step 2: 用Adams 显式计算预测值；Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值。注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutta 法配合4阶Adams 公式。 Hey! Look at the local truncation error of the explicit and implicit Adams methods: and Don’t you think there’s something you can do?4阶Adams隐式公式的截断误差为4阶Adams显式公式的截断误差为当 h 充分小时，可近似认为?i ? ?i ，则：Predicted value pi+1Modified value mi+1Corrected value ci+1Modified final value yi+1外推技术 /* extrapolation */ §4 Multistep Method Adams 4th-Order predictor-corrector AlgorithmTo approximate the the solution of the initial-value problemAt (N+1) equally spaced numbers in the interval [a, b].Input: endpoints a, b; integer N; initial value y0 .Output: approximation y at the (N+1) values of x.Step 1 Set h = (b ? a) / N ; x0 = a; y0 = y0; Output ( x0, y0 );Step 2 For i = 1, 2, 3 Compute yi using classical Runge-Kutta method; Output ( xi , yi );Step 3