数学竞赛教案讲义数列.docx

第五章 数列 一、基础知识 定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数 列两种，数列{a }的一般形式通常记作 a , a , a ,…，a 或 a , a , a ,…，a …。其中 a 叫做数 n 1 2 3 n 1 2 3 n 1 a列的首项， a n 是关于 n 的具体表达式，称为数列的通项。 n n 1 1 n n n-1定理 1 若 S 表示{a }的前 n 项和，则S =a , 当 n1 时，a n n 1 1 n n n-1 定义 2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a -a =d（常数），则{a }称为等差数列，d n+1 n n 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d. n 1定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 a =a +(n-1)d；2）前 n n 1 n(a ? a ) n(n ? 1) S = 1 n ? na ? d ；3）a -a =(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4）若 n+m=p+q， n 2 1 2 n m n m p q p q 2 1则 a +a =a +a ；5）对任意正整数 p, q，恒有 a -a =(p-q)(a -a )；6）若 n m p q p q 2 1 为零，则{a }是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn. n a 定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有 n?1 ? q ，则{a }称为等比数列，q 叫做公比。 a n n a (1 ? qn ) 定理 3 等比数列的性质：1）a =a qn-1；2）前n 项和S ，当q1 时，S = 1 ；当q=1 n 1 n n 1 ? q 时，S =na ；3）如果 a, b, c 成等比数列，即 b2=ac(b0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；4）若 n 1 m n p qm+n=p+q， 则 m n p q n定义 4 极限，给定数列{a }和实数 A，若对任意的0，存在 M，对任意的 nM(n∈N ),都有 n |an -A|，则称 A 为 n→+∞时数列{a }的极限，记作lim a nn?? n n ? A. n定义 5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a }的公比 q 满足|q|1，则称之为无穷递增等比数 n a n列，其前 n 项和 S n 的极限（即其所有项的和）为 1 （由极限的定义可得）。 ?1 q ? 定理 3 第一数学归纳法：给定命题 p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当 p(n)时 n=k 成立时能推出 p(n)对 n=k+1 成立，则由（1），（2）可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切 n≤k 的自 0然数 n 都成立时（k≥n ）可推出 p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题 p(n)对一切自然数 n 0 n≥ 成立。 n 0 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 x =ax +bx ，设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α, n n-1 n-2 β:(1)若αβ，则 x =c an-1+c βn-1，其中 c , c 由初始条件 x , x 的值确定；(2)若α=β，则 n 1 2 1 2 1 2 xn=(c1n+c2) αn-1，其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。二、方法与例题 不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5， 19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 1 例 2 已知数列{a }满足 a = ,a +a +…+a =n2a , n≥1，求通项 a . n 1 2 1 2 n n n 1 例 3 设 0a1，数列{a }满足 a =1+a, a =a+ ，求证：对任意 n∈N ,有 a 1. 2 迭代法。 n n n-1 a + n n n n数列的通项 a 或前 n 项和S 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立，因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 n n 例 4 数列{a }满足 a +pa +qa =0, n≥3，q0，求证：存在常数 c，使得 n n n-1 n-2 a 2 ? pa a + qa 2 cqn ? 0. n?1 n?1 例 5