数学 高中数学人教A版选择性必修三第八章 §82 一元线性回归模型及其应用.docx

§8.2 一元线性回归模型及其应用 学习目标 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2. 学习目标 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最 知识点一 一元线性回归模型 ??Y＝bx＋a＋e， 称? 为 Y 关于 x 的一元线性回归模型．其中 Y 称为因变量或响应变量，x ??E?e?＝0，D?e?＝σ2 称为自变量或解释变量，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是 Y 与 bx＋a 之间的随机误差， 如果 e＝0，那么 Y 与 x 之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二 最小二乘法 将y^ ＝b^ x＋a^ 称为 Y 关于 x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b^ ，a^ 叫做 b，a 的最小二 ?n ^ i＝1  i i?x － x ??y － y i i ^ ^ 乘估计，其中b＝  i?n i i＝1  ?x － x ?2 ，a＝ y －b x . n思考 1 经验回归方程一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，y )中的某一点吗？ n 答案 不一定． 思考 2 点( x ， y )在经验回归直线上吗？ 答案 在． 知识点三 残差与残差分析 残差 对于响应变量 Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y^ 称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四 对模型刻画数据效果的分析 残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 残差平方和法 (y －y ) 越小，模型的拟合效果越好． (y －y ) 越小，模型的拟合效果越好． ? i i i＝1 R2 法 ?y ?y －y ? ?n i i 2 i＝1 i可以用 R2＝1－ i 来比较两个模型的拟合效果，R2 越大，模型拟合效果越好，R2 越 ?n i＝1 ?y － y ?2 小，模型拟合效果越差． 思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 答案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值． 求经验回归方程前可以不进行相关性检验．( × ) 在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( √ ) 利用经验回归方程求出的值是准确值．( × ) 残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好．( √ ) R2 越小，线性回归模型的拟合效果越好．( × ) 一、求经验回归方程 例 1 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据： x x y 6 2 8 3 10 5 12 6 请画出上表数据的散点图； 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的经验回归方程y^ ＝b^ x＋a^ ； 试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9 的同学的判断力． ??? n ? ? ? i i ?x y －n x · y i^ i＝1 ^ ^?参考公式：b＝ ，a＝ y －b x i ^ i＝1 ^ ^ ? ?n x2－n x 2 ? i＝1 解 (1)散点图如图所示： x 6＋8＋10＋12＝9， ＝ 4 y 2＋3＋5＋6＝4， ＝ 4 i?4 x2＝62＋82＋102＋122＝344， i i＝1 i i?4 x y ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158 i i i＝1 ^ ＝158－4×9×4＝14＝0.7， b 344－4×92 20 a^ ＝ y －b^ a x ＝4－0.7×9＝－2.3， 故经验回归方程为y^＝0.7x－2.3. y由(2)中经验回归方程可知，当 x＝9 时，^ ＝0.7×9－2.3＝4，即预测记忆力为 9 的同学的 y 判断力为 4. 反思感悟 求经验回归方程可分如下四步来完成 列：列表表示 x ，y ，x2，x y . i i i i i 算：计算 x ， y ， ?n x2， ?n x y . i i i i＝1 i＝1 代：代入公式计算a^ ，b^ 的值． 写：写出经验回归方程． 储蓄存款 y(千亿元)567810跟踪训练 储蓄存款 y (千亿元) 5 6 7 8 10 年份 2015 2016 2017 2018 2019 时间代号 t 1 2 3 4 5 求 y 关于 t 的经验回归方程y^ ＝b^ t＋a^ ； 用所求经验回归方程预测该地区 2021 年(t＝7)的人民币储蓄存款． ??? n ? ? ? i i ?t y －n t y