第三章材晶格振动与热学性质.ppt

其中，E为弹性模量，d为晶体密度。由于N /V = d/m，于是 其中m为碳原子的质量。代入下列数据： ， ， ， ， ，便可求得德拜温度 ? D≈2700K。 第六十一页，共八十七页，2022年，8月28日 一维复式格子的q也同样只能取N个不同的值。波矢q的数目亦即振动状态的数目，等于原胞的数目。 在波矢空间，一维双原子复式格子的每一个可能的q所占据的线度为?/Na。这里对应于每个q值有两个不同的? ，一个是光学波角频率，另一个是声学波角频率。 因此对于一维双原子的复式格子，角频率数为2N，可见格波数也为2N。 一维双原子的复式格子中，每个原胞有两个原子，晶体的自由度是2N，这与晶格振动的频率数目正好相等。这些关系在三维晶格振动中也是适用的。 第二十九页，共八十七页，2022年，8月28日 §3.2 三维晶格振动 双原子链的模型已较全面地表现了晶格振动的基本特征，在此只简单地以对比双原子链的方法来说明三维晶格的振动。 考虑原胞含有n个原子的复式晶格，n个原子的质量为m1，m2，…，mn。原胞以l（l1，l2，l3）标志，表明它位于格点 R (l) = l1a1 + l2a2 + l3a3 （3-22） 原胞中各原子的位置用 R ，R ，…，R （3-23） 第三十页，共八十七页，2022年，8月28日 表示，偏离格点的位移则写成 u ，u ，…，u （3-24） 和双原子链的情形一样，可以写出一个典型原胞中的运动方程 ＝… （3-25） 其中k标明原胞中的各原子，取值1, 2, …, n。a代表原子的三个位移分量，方程右端是原子位移的线性齐次函数。方程解的形式和一维完全相似，可以写成 u （3-26） 第三十一页，共八十七页，2022年，8月28日 指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面波的形式 （3-27） 其中q是平面波的波数矢量（q的方向指波传播方向）；A1（A1x，A1y，A1z），A2（A2x，A2y，A2z），…可以是复数，表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有区别。式（3-26）实际上表示了三维晶格格波的一般形式。 第三十二页，共八十七页，2022年，8月28日 同样可以证明，式（3-26）代入式（3-25）以后，得到以A1x，A1y，A1z…，Anx，Any，Anz为未知数的3n个线性齐次联立方程 （3-28） 它的有解条件是? 2的一个3n次方程式，从而给出了3n个解? j（j = 1，2，…，3n）。 具体分析证明，当q →0时，有三个解? j ? q，而且对这三个解A1，A2，…，An趋于相同，也就是说在长波极限整个原胞一齐移动。 另外（3n－3）个解的长波极限描述n个格子之间的相对振动，并具有有限的振动频率。 第三十三页，共八十七页，2022年，8月28日 所以在三维晶格中，对一定的波矢q，有3支声学波，（3n?3）支光学波。 声学波描述不同原胞之间的相对运动，而光学波则描述同一原胞内各原子之间的相对运动。 和前而对一维情况所得的结果相同，格波波矢q的数目等于原胞数；而独立振动频率数等于系统的自由度数。 第三十四页，共八十七页，2022年，8月28日 §3.3晶格振动的长波分析 晶格振动反映了格点上原子的位移，前面我们讨论这种振动时没有讨论原子的位移方向，实际上，这种位移可以考虑有纵向振动和横向振动之分，分别称为纵波和横波。 图3-8、图3-9所示的声学波和光学波如果考虑成晶体中实际原子振动时的移动位置，则它们分别代表的都是横波的形式，它们的振动频率分别以?TA和?TO表示，而声学波和光学波的纵波振动形式则如图3-6和图3-7所示，光学纵波和声学纵波的振动频率则分别以?LA和?LO表示。 第三十五页，共八十七页，2022年，8月28日 晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在作振动，其结果表现为晶格中的格波。一般而言，格波不一定是简谐的，但可以展成为简谐平面波的线性迭加。 当振动微弱时，即相当于