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“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼例 1、（2015 年山东·德州卷） 问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，∠ DPC=∠ A=∠ B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. 探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当∠ DPC=∠ A=∠ B=θ 时，上述结论是否依然 成立？说明理由. 应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图 3，在△ ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足∠ DPC=∠ A.设点 P 的运动时间为t（秒），当以 D 为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切，求 t 的值. 变式 1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图 6，分别以△ ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向△ ABC 外作正方形 ACD E 和正方形 BCD E 1 1 ，过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H，使∠ AHK = ∠ ACD ． 作 2 D M ⊥ KH，D 2 N ⊥ KH，垂足分别为点 M、N． 试探究线段 D 1 M 与线段 D N 的数量关系，并加以证 1 2 1 2 明． ( 2) 拓展延伸 如图 7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1 ，K H ，分别交直线 AB 于点 H 、H ，使∠ AH K = ∠ BH K = ∠ ACD ． 作 D M ⊥K H ，D N⊥K H ， 垂 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 足分别为点 M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 如图 8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变． D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求: 在图 8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明) 二、添加辅助线后运用基本图形 例 1、在△ ABC 中，AB =2，∠ B = 45° ，以点A 为直角顶点作等腰Ｒt△ ADE，点 D 在 BC 上，点E 在 AC 上，若 CE=5，求 CD 的长。 例 2、 ( 2013 年海淀区一模 22 题最后一问) 如图，l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行线，l1、l2 之间的距离是 21/5，l2、l3 之间的距离是 21/10，等边△ ABC 的三个顶点分别在 l1、l2、l3 上，求△ ABC 的边长． 例 3、 如图，在矩形纸片 AＢＣＤ 中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，在ＡＢ 边上取点Ｇ，现将纸片沿ＥＧ 翻折，使点Ａ 落在ＣＤ 边上的点Ｆ 处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ 的长。 三、应用举例 1、等腰三角形底边上的一线三等角 例 1、如图 5，在三角形 ABC 中，AB=AC,D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作∠ MDN=∠B. 如图 5，当射线 DN 经过 A 时，DM 交 AC 边于点 E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形 ADE 相似的三角形。 如图 6，将∠ MDN 绕点 D 逆时针方向旋转，DM,DN 分别交线段 AC,AB 于 E,F 点，（E 和 A 点不重 合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。 在图 6 中，若 AB=AC=10，BC=12，当三角形 DEF 的面积等于三角形面积的 1/4 时，求线段 EF 的长。 例 2、 如图 8，在 Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠ A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将 45° 角的顶点放在BC 中点 O 处，三角板的直角边与线段 AB、AC 分别交于点 E、F，设 BE =x，CF = y，∠ BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ． ( 1) 试求 y 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围; ( 2) 试判断∠ BEO 与∠ OEF 的大小关系?并说明理由; ( 3) 在三角板绕 O 点旋转的过程中，⊿ OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应 x 的值; 若不能，请说明理由． 【例 3】（2012 四川·成都卷）如图，△ ABC 和△ DEF 两个全等的等腰直角三角形，∠ BAC=∠ EDF=90°， △ DEF 的顶点 E 与△ ABC 的斜边 BC 的中点重合．将△ DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． 如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：△ BPE≌ △ CQE； （2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△ BPE∽ △ CEQ； 并求