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力偶系简化与平衡 第一页，共三十三页，2022年，8月28日 §2-3 力矩、力偶的概念及其性质 力对物体的运动效应 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向 一、力对点的矩（力矩） 力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 第二页，共三十三页，2022年，8月28日 静力学 矩心 力臂 例：扳手拧螺母 平面问题中：代数量 大小: mo(F)＝±Fd mo(F)＝ ± 2ΔABC 符号规定： - + 　 单位:牛顿?米（N?m）或kN?m。 (1)表示 第三页，共三十三页，2022年，8月28日 (2)力矩的性质： 力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。 力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 力臂 mo(F)＝±Fd 第四页，共三十三页，2022年，8月28日 静力学 (3) 合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有 各分力对同一点的矩的代数和。 即： 第五页，共三十三页，2022年，8月28日 根据合力投影定理YR＝Y1＋Y2＋…＋Yn 两端乘以OA得 YROA＝Y1OA＋Y2OA＋…＋YnOA 将上式代入得 mo(FR)＝mo(F1)＋ mo(F2)＋…＋mo(Fn) 即mo(FR)＝Σmo(F) 证明：设刚体上的A点作用着一平面汇 交力系,力系的合力Fn。在力系所在平面 内任选一点O，过O作oy轴，且垂直于OA。 第六页，共三十三页，2022年，8月28日 应用：当力的力臂不易求出时，常将力分解为两个容易确定力臂 的分力（通常分解为正交力），然后应用合力矩定理计算力矩。 A B D C a b F α [例1]：求图中力F对A、B、C、D各点的力矩。 合力矩定理：建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩 的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。 第七页，共三十三页，2022年，8月28日 [例2] 已知：如图 F、Q、l, 求： 和 静力学 解：①用力对点的矩 ②应用合力矩定理 第八页，共三十三页，2022年，8月28日 2.空间问题中：矢量（大小、转动平面、旋转方向) 转动效应取决于：①转动大小:力的大小F和力臂h的乘积Fh ②转动平面：由右手定则确定； ③转动方向。 上述要素可以用一个矢量来表示，即力对点的矩矢 ①矢量表示式： 矢量积的模： 即：矢量的长度表示力矩的大小,矢量的指向与力矩的转向成右手系,矢量的方位于力矩作用平面垂直. 定位矢量,与作用位置有关. 第九页，共三十三页，2022年，8月28日 其中 是矩心O到力作用点的矢径，x、y和z是力作用点的三个坐标，Fx、Fy和Fz是 在三个坐标轴上的投影。 力对点O的矩矢为: ②解析表示式: 第十页，共三十三页，2022年，8月28日 力对点的矩矢在坐标轴的投影式： (3)合力矩定理 为力系 的合力，则有 即力系合力对任一点的矩矢，等于诸力对同一点的矩矢的矢量和，称之为合力矩定理。 第十一页，共三十三页，2022年，8月28日 力F使物体绕z轴转动的效应称为力对轴之矩,记为: mz(F)=±Fx·OA =±Fxy·h x z Fz Fxy Fy F Fx y o A h B 显然:力与轴平行,无矩 力与轴相交,无矩 即: 力与轴位于同一 平面内时,无矩 合力矩定理: mz(R)=Σmz(Fi) 二、力对轴的矩（代数量） * 第十二页，共三十三页，2022年，8月28日 静力学 力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。 * 第十三页，共三十三页，2022年，8月28日 z y x o 力对轴之矩的解析式: (x,y,z) . F X Y Z z y x mx(F)= yZ - zY mY(F)= zX - xZ mz(F)= xY- yX 力对点的矩矢与力对通过该点的轴之矩间的关系 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩. * 第十四页，共三十三页，2022年，8月28日 练习：计算图中力F对O点的矩和力对轴