完整word版,小学六年级奥数第十四章统筹问题.docx

第十四章 统筹问题 知识要点 在日常生活和生产中，我们会经常遇到一些事情需要进行合理、科学地安排，既要在指 定时间内完成任务，又要考虑到精打细算，用最少的时间、人力、物力，发挥出最大的效率。 这就涉及这一章的知识“统筹问题”。它包含的内容非常广泛，例如统筹安排问题、排队问 题、最短路线问题、场地设置问题、物资调运问题、最省运费问题等等，每类问题都有特定的解法。这些来源于生活的实际问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。 例 1 赵乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的干部开会，这四个村子，每两个村子都是相 距 5 千米(如下图)，参加会议的人数甲村8 人，乙村5 人，丙村3 人，丁村7 人。试求赵乡长应在( )村子召集会议最为合理。 甲村 乙村 丙村 丁村 8 人 5 人 3 人 7 人 点拔 要使所有参加会议的人所走路程的总和最小，首先，某村人数是总人数的一半以上， 该村就是设置会场的最好地点，这称为“小往大靠”。 其次，某村人数不超过总人数的一半，可以把本村人移到邻近村庄，这称“支往干靠”。 解 四村总人数的一半是(8＋5＋3＋7)÷2＝11.5(人)，没有一个村庄的人数多于 11.5 人，属于“支往干靠”。 甲村人数＋乙村人数＝8＋5＝13(人) 丙村人数＋丁村人数＝3＋7＝10(人) 因为 10＜13，所以“小往大靠”。显然会议地点应选在乙村最为合理。 例 2 天津和广州同时制成大型电子计算机若干台，天津可调往外地 12 台，广州可调往外地 6 台。现决定给成都调去 10 台，给合肥调去 8 台，若每台运费如下表所示，问怎样调运运费最省？ 点拨一 依题意，设广州调往合肥 x 台(x≤6)。根据题中的相应数量关系列关于总费用的关系式，再通过对最值问题的讨论，则问题易解。 解法一 设广州调往合肥x 台(1≤6)，则广州调往成都应为(6－x)台，天津调往合肥(8－x) 台，天津调往成都 12－(8－x)＝(4＋x)台，则总费用为： 400x＋600×(6－x)＋500×(8－x)＋900×(4＋x) ＝400x－600x－500x＋900x＋3600＋4000＋3600 ＝200x＋11200 要使运费最省，只有当x＝0 时，这时总运费为 11200 元。即天津调运 4 台到成都，调运 8 台到合肥，广州的 6 台全调运至成都，运费最省。 点拨二 通常从运费最少的地方考虑，如广州的 6 台全运给合肥，则合肥还缺 2 台，再从天津运 2 台给合肥，其余运给成都。计算总费用，但不一定最少。还应比较一下，需要量多、运费也多的地方如何运才能使运费最省，如广州的 6 台全运给成都后，再从天津运 4 台给成 都，其余全部运给合肥。计算总运费，比较一下便知，怎样调运运费最少。 解法二 通常从运费最少的那个地方考虑，如广州的 6 台全运往合肥只需 400×6＝ 2400(元)，还缺 2 台，再从天津运来 2 台运费为 500×2＝1000(元)，总计：2400＋1000＝ 3400(元)，与上面计算的从天津调 8 台到合肥的运费 500×8＝4000(元)比较是节省了，但总的费用反而多：10×900＋3400＝12400。这就告诉我们，应该先比较一下，需要量多运费 也多的地方如何运最省。如运往成都，广州6 台运费 600×6＝3600(元)，成都还缺少4 台， 再从天津调运，运费 900×4＝3600(元)，比直接从天津调运到成都省 10×900－3600－3600 ＝1800(元)。因此天津调运4 台到成都，调运 8 台到合肥，广州的6 台调运至成都，运费最少。 例 3 (“华罗庚金杯”决赛试题)有十个村庄，坐落在从水库出发的一条公路上(如下图，距离单位是千米)，要安装水管，从水库送自来水供给各村，可以用粗细两种水管。粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水。粗管每千米要用8000 元，细管每千米要用2000 元。把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约的方法，费用应是多少？ 点拨 由题意可知，粗管每千米的费用正好是细管每千米费用的4 倍，因此，如果在同一段上要安装 4 根以上的细管，就应该用一根粗管来代替，便可降低工程的总费用。 解 假设从水库到每个村子都各接一根细管(如上图)，那么在 AB 、AB 、AB 、AB 、AB 、 1 2 3 4 5 AB 之间各有 10 根、9 根、8 根、7 根、6 根、5 根细管，应该把A 与B 之间都换装粗管，工 6 6 程的总费用将最低，这时的总费用是8000×(30＋5＋2＋4＋2＋3)＋2000×(2×4＋2×3＋2×2＋5)＝414000(元) 说明 做这类问题时，根据粗管费用是细管费用的a 倍(或＜a 倍)，那么最后a(或 a－1)个村子用